1、课时素养评价十四向量数量积的概念(20分钟35分)1.已知ABCD中DAB=30,则与的夹角为()A.30B.60C.120D.150【解析】选D.如图,与的夹角为ABC=150.2.(2020长沙高一检测)如图,AB为圆O的一条弦,且=4,则=()A.4B.-4C.8D.-8【解析】选D.设AB的中点为M,连接OM,则OMAB,则=2=2|cos =-22|cos OAB=-4|=-8.3.(2020西安高一检测)在四边形ABCD中,=,且=0,则四边形ABCD是()A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形【解析】选A.因为=,所以AB与DC平行且相等,所以四边形ABCD为平行四边形.又=0
2、,所以ACBD,即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,所以平行四边形ABCD为菱形.4.给出以下命题:若a0,则对任一非零向量b都有ab0;若ab=0,则a与b中至少有一个为0;a与b是两个单位向量,则a2=b2.其中,正确命题的序号是.【解析】三个命题中只有正确,因为|a|=|b|=1,所以a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故a2=b2.当非零向量a,b垂直时,有ab=0,显然错误.答案:5.已知|a|=4,e为单位向量,a在e方向上的投影的数量为-2,则a与e的夹角为.【解析】因为a在e方向上的投影的数量为-2,即|a|cos=-2,所以cos=-,又0,所以=.答案:6.已知a,b
3、是两个非零向量,且满足|a+b|=|a-b|=2|a|,求向量a+b与a-b的夹角.【解析】如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,因为|a+b|=|a-b|,所以四边形ABCD为矩形.在RtABD中,|a-b|=2|a|,所以ABD=.所以a+b和a-b的夹角为.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020重庆高一检测)最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,我国的九章算术也有记载,所以商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC满足“勾3股4弦5”.其中AB=4.D为弦BC上一点(不含端点),
4、且ABD满足勾股定理.则=()A.B.C.D.【解析】选D.依题意可得,ADBC,由等面积法知AD=,又在上的投影的数量为,所以=|2=.2.已知非零向量与满足=0且= , 则ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形【解析】选D.非零向量与满足=0,即A的平分线垂直于BC,所以 AB=AC.又因为cos A= ,所以A=,所以ABC为等边三角形.3.(2020武汉高一检测)设a,b为向量,则“=”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.设向量a,b的夹角为.根据向量数量积的运算,= ,
5、若=,即=,所以cos =1,即=0或180,所以ab.若ab,则a与b的夹角为0或180,所以=cos 0=或=cos 180=-,即=|a|b|.所以“=”是“ab”的充分必要条件.4.三角形ABC的外接圆圆心为O,半径为2,+=0且|=|,则在方向上的投影的数量为()A.1B.2C.D.3【解析】选C.如图,设BC中点为D,则+=2,又+=0,所以+=-=,所以=2,所以A,D,O三点共线且D为AO的中点,连接OB,因为|=|=2,所以OAB为等边三角形,所以BCAD,所以即为在方向上的投影,易知,在RtACD中,AC=AB=2,AD=1,所以CD=.二、多选题(每小题5分,共10分,全
6、部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020济南高一检测)对任意平面向量a,b,c,下列命题中的真命题是()A.若ab=bc,则a=cB.若a=b,b=c,则a=cC.-+D.【解析】选BD.若ab=bc,则a=c,反例b=0,则a与c具有任意性,所以A不正确;若a=b,b=c,则a=c,向量相等的充要条件,所以B正确;-+,如果b=0,则不等式不成立,所以C不正确;=|cos|,所以D正确.6.关于菱形ABCD的说法中,正确的是()A.B.(+)(+)C.(-)(-)=0D.=【解析】选ABC.因为四边形ABCD为菱形,所以ABCD,所以,A正确;因为对角线AC与BD互
7、相垂直,且+=,+=,所以,即(+)(+),B正确;因为-=,-=,又因为,即=0,所以(-)(-)=0,C正确;易知=180-,且|=|=|=|,所以=-,D错误.【补偿训练】 已知等腰直角三角形ABC中,C=90,面积为1,则下列结论正确的是()A.=0B.=2C.=2D.|cos B=|【解析】选ABD.在等腰直角三角形ABC中,C=90,面积为1,则AC2=1,得AC=,得AB=2,所以=0 ,选项A正确;=|cos 45=2,选项B正确;=|cos 135=-2,选项C不正确;向量在上投影的数量为|,即|cos B=|,选项D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知等腰直角三
8、角形ABC中,D是斜边AB的中点,则CD和AC的夹角为,和的夹角为.【解析】在等腰直角三角形ABC中,D是斜边AB的中点,则CDAB, CD和AC的夹角为45,和的夹角为135.答案:451358.给出下列命题:在ABC中,若0,则ABC是钝角三角形;ABC是直角三角形=0.其中,真命题的序号是.【解析】利用向量数量积的符号,可以判断向量的夹角是锐角、直角,还是钝角.因为0,所以B是锐角,但并不能断定其余的两个角也是锐角.所以推不出ABC是锐角三角形.故命题是假命题.因为0,所以=-0,B是钝角,因而ABC是钝角三角形.故命题是真命题.若ABC是直角三角形,则直角可以是A,也可以是B,C.而=
9、0仅能保证B是直角.故命题是假命题.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知|a|=2|b|0,且关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实根,求a与b的夹角的取值范围.【解析】因为方程x2+|a|x+ab=0有实根,所以=|a|2-4ab0,所以ab|a|2.cos=,又因为0,所以.即a与b的夹角的取值范围为.10.已知ABC的面积S满足S3,且=6,与的夹角为.求的取值范围.【解析】因为=|cos =60,所以cos 0,所以为锐角,如图,过C作CDAB,垂足为D,则|CD|=|BC|sin .由题意知,=|cos =6,S=|AB|CD|=|sin .由得=tan ,即3tan =S.因为S3,所以3tan 3,即tan 1.又因为为与的夹角,0,所以.若Ai是AOB所在平面内的点,且=,给出下列说法:(1)|=|=|=|;(2)的最小值一定是;(3)点A和点Ai一定共线;(4)向量及在向量方向上的投影的数量必定相等.其中正确说法的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.根据两个向量的数量积的定义,=为定值,而=|cos,所以|=,故(1)不一定成立,(2)也不一定成立.向量及在向量方向上的投影的数量为,故(4)正确.因为=,所以(-)=0,所以=0,即点A,Ai在一条直线上,如图,故(3)正确.
