1、高二 数学（理科）（考试时间：120分钟 总分：150分）第卷（12题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分） 1.某影院有30排座位，每排有25个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座位号为18的所有听众30人进行座谈，这是运用了 （ ）A抽签法 B随机数法 C分层抽样 D系统抽样 2.秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是 ( )A可以减少加法运算次数 B可以减少乘法运算次数C同时减少加法和乘法的运算次数 D加法次数和乘法次数都有可能减少3.已知:是方程的两根,，则是的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
2、条件4.把输入程序框图可得 （ ）A. B.0 C.不存在 D.15.若抛物线的焦点坐标，则的值为 （ ）A. B. C. D.6.下列各数中，最小的是 （ ）A. B. C. D.7.若双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为 ( )A. B. C. D.8在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为B，关于轴的对称点为C，则B、C间的距离为 ( )A. B.6 C.4 D.9.我国古代数学名著九章算术中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，问各几何？”意思是：北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 3
3、56人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是 ( )A.102 B.112 C.130 D.13610执行图中程序后输出的结果是 ( )A.55,10 B.220,11 C.110,10 D.110,1111.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”。已知是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这对相关曲线的离心率倒数和为 ( )A. B.C.D.12.在三棱锥中，,二面角的大小均为，设三棱锥的外接球的球心为，直线交平面于点，则的值为 ( )AB1CD2第卷（10题：共90分）二、 填空题（包括
4、4小题，每小题5分，共20分）13.1 624与899的最大公约数是_14.短道速滑队组织6名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若pq是真命题，pq是假命题，()r是真命题，则选拔赛的第一名为 。（请用“甲，乙，丙”作答）15.已知长方体为对角线的中点，过点O的直线与长方体表面交于两点，P为长方体表面上的动点，则的取值范围是 。16.已知椭圆方程为：，为椭圆过右焦点的弦，则的最小值为 。三、解答题（包括6小题，共70分）17.（本题10分）已知圆C经过两点，圆心在轴上，求圆C的标准方程。18.（本题1
5、2分）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点。（1）求的长；（2）求异面直线与所成的角的余弦值。19. （本题12分） 已知抛物线与直线相交于A，B两点。(1)求证：；(2)当的面积等于时，求直线方程。20. （本题12分）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点M是的中点。（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值。21.（本题12分）已知四棱锥中，底面为梯形，。（1）若为的中点，求证：平面；（2）求二面角的正弦值。22.（本题12分）如图，椭圆：的离心率，椭圆的左、右顶点分别为，又，为椭圆上非顶点的三点.设直线，的斜率分别为，。（1）求椭圆的方程，并求的值；（2）若，判断的面积是否为定
6、值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由。高二（理科）数学试题答案一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）123456789101112DBADCABBBDCC二、 填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13. 29； 14.甲 ； 15.； 16.。三、 解答题17.18.（1）以，的正方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系，则，可得，所以的长为.（2）由（1）的坐标系，可得，所以，设异面直线与所成的角为，所以，即异面直线与所成的角的余弦值.19.解(1)证明：，由消去x，整理得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y21.A，B在抛物线上，yx1
7、，yx2，yyx1x2.又kOAkOB1，OAOB.(2)设直线与x轴交于N，显然k0，令y0，得x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|.而|y1y2| .又SOAB，1 .解得k.所求直线方程为或。20.答案：（1）平面平面.四边形为矩形，平面平面，平面，平面，为等腰直角三角形，M是的中点，平面平面，平面，又平面，.（2）如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则.设平面的一个法向量为，由可得.令，得.设直线与平面所成的角为，则.直线与平面所成的角的余弦值为.21.解：（1）取中点，连接， 为的中点， 在中， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面；（2）取中点，连接， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，由正弦定理得：，解得， ， 在中，在中， ， ，即， ， 在中， ，即， ， 平面，故如图建系， 设，由得，解得， ，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， ，即,故；，即,故. ， 二面角的正弦值为.22.（1）由题意得，又，所以，即椭圆：.设，则，又，则.（2）设直线的方程为，即，即 ，.到直线的距离，所以.的面积为定值1.