1、立体几何综合试题1（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE平面A1B1C1；（2）求二面角A1DEB1的大小。2（本小题满分12分）如图：已知直三棱柱ABCA1B1C1，ABAC，F为棱BB1上一点，BFFB121，BFBC2a。（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EFFC1；（II）试问：若AB2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60角，为什么？证明你的结论3. （本小题满分12分） 如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，ADBC，ABC90，且，又PA平面ABCD，AD
2、3AB3PA3a。 （I）求二面角PCDA的正切值； （II）求点A到平面PBC的距离。4.（本小题满分14分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1EG.（）确定点G的位置；（）求直线AC1与平面EFG所成角的大小. 5（本小题满分12分）已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED平面PAB； （2）求二面角PABF的平面角的余弦值6.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱C
3、C1上，且CC1=4CP.B1PACDA1C1D1BOH()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；()设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.7、（本题满分14分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F。 (I)证明 平面； (II)证明平面EFD； (III)求二面角的大小。 8（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F；（II）当D1E平面AB1F
4、时，求二面角C1EFA的大小（结果用反三角函数值表示）.9、（本小题满分12分） 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，ABCD，ADDC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点。点P到直线AD1的距离为求证：AC平面BPQ求二面角B-PQ-D的大小10（本题满分13分）已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。 （）证明：AF平面FD1B1；（）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值； 立体几何1、（1）取A1C1中点F，连结B1F，DF，D1E分别为AC1和BB1的中点，
5、DFAA1，DF=（1/2）AA1，B1EAA1，B1E=（1/2）AA1，DFB1E，DF=B1E，DEB1F为平行四边形，DEB1F，又B1F在平面A1B1C1内，DE不在平面A1B1C1，DE平面A1B1C1（2）连结A1D，A1E，在正棱柱ABCA1B1C1中，因为平面A1B1C1平面ACC1A1，A1C1是平面A1B1C1与平面ACC1A1的交线，又因为B1F在平面A1B1C1内，且B1FA1C1，所以B1F平面ACC1A1，又DEB1F，所以DE平面ACC1A1所以FDA1为二面角A1DEB1的平面角。并且FDA1=（1/2）A1DC1，设正三棱柱的棱长为1，因为AA1C1=900
6、，D是AC1的中点，所以即为所求的二面角的度数。2（I）连结DF，DC 三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，平面BB1C1C平面ABCABAC，D为BC的中点，ADBC，AD平面BB1C1C 3DF为EF在平面BB1C1C上的射影，在DFC1中，DF2BF2BD25a2，DC210a2，B1F25a2，DF2，DFFC1FC1EF 6（II）AD平面BB1C1C，DFE是EF与平面BB1C1C所成的角 8在EDF中，若EFD60，则EDDFtg60，E在DA的延长线上，而不在线段AD上 11故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60角。 12 3. 解：（1）在底面
7、ABCD内，过A作AECD，垂足为E，连结PE PA平面ABCD，由三垂线定理知：PECD PEA是二面角PCDA的平面角2分 在中，4分 在中，二面角PCDA的正切值为6分 （II）在平面APB中，过A作AHPB，垂足为HPA平面ABCD，PABC 又ABBC，BC平面PAB平面PBC平面PAB AH平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离10分 在等腰直角三角形PAB中，所以点A到平面PBC的距离为124.（本小题满分14分）解法一：（）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2
8、），3分设G（0，2，h），则10+1（2）+2h=0. h=1，即G是AA1的中点. 6分（）设是平面EFG的法向量，则所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）10分， 即AC1与平面EFG所成角为 14分解法二：（）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED/BC 1分BCAC，EDAC.又CC1平面ABC，而ED平面ABC，CC1ED.CC1AC=C，ED平面A1ACC1. 3分又AC1EG，AC1DG.4分连结A1C，AC1A1C，A1C/DG.D是AC的中点，G是AA1的中点. 6分（）取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF/GM， E、F、M、G共面.作C1HFM，交FM的延长线
9、于H，AC平面BB1C1C，C1H平面BB1C1C，ACG1H，又AC/GM，GMC1H. GMFM=M，C1H平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以C1NH为直线AC1与平面EFG所成角. 12分因为 14分. 5本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力. 满分12分. （1）证明：连接BD.为等边三角形.是AB中点，2分面ABCD，AB面ABCD，面PED，PD面PED，面PED.4分面PAB，面PAB. 6分（2）解：平面PED，PE面PED，连接EF，PED，为二面角PABF的平面角. 9分设AD=2，那么PF=FD=1，DE
10、=.在即二面角PABF的平面角的余弦值为12分6、解（1） （2）略（3） 7方法一： (I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点 在中，EO是中位线，。 而平面EDB且平面EDB， 所以，平面EDB。 (II)证明：底在ABCD且底面ABCD， 同样由底面ABCD，得 底面ABCD是正方形，有平面PDC 而平面PDC， 6分 由和推得平面PBC 而平面PBC， 又且，所以平面EFD (III)解：由(II)知，故是二面角的平面角 由(II)知， 设正方形ABCD的边长为，则 在中， 在中， 所以，二面角的大小为 方法二：如图所示建立空间直角坐标系
11、，D为坐标原点。设 (I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。 依题意得 底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故点G的坐标为且 。这表明。 而平面EDB且平面EDB，平面EDB。 (II)证明：依题意得。又故 由已知，且所以平面EFD。 (III)解：设点F的坐标为则 从而所以 由条件知，即 解得 。 点F的坐标为且 即，故是二面角的平面角。 且 8本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影 AB1A1B，D1EAB1，于是D1E平面AB1FD1EAF.连结DE，则DE是
12、D1E在底面ABCD内的射影.D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中点.当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.6分（II）当D1E平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.又已知点E是BC的中点，连结EF，则EFBD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则CHEF，连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.C1HEF，即C1HC是二面角C1EFC的平面角.在RtC1CH中，C1C=1，CH=AC=，tanC1HC=.C1HC=arctan，从而AHC1=.故二面角C1EFA的大小为.解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标
13、系（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）（1）当D1E平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EFBD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AHEF. 连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.C1HEF，即AHC1是二面角C1EFA的平面角.9、连接CD1 P、Q分别是CC1、C1D1的 中点。CD1PQ 故CD1平面BPQ又D1Q=AB=1，D1QAB，得平行四边形ABQD1，故AD1平面BPQ 平面ACD1平面BPQ AC平面BPQ （4分）设D
14、D1中点为E，连EF，则PECDCDAD，CDDD1 CD平面ADD1PE平面ADD1过E作EFAD1于F，连PF。则PFAD1，PF为点P到直线AD1的距离（6分）PF=，PE=2 EF= 又D1E=，D1D=1，AD=1 （8分）取CD中点G，连BG，由ABDG，AB=DG得GBAD。ADDC，ADDD1AD平面DCC1D1，则BG平面DCC1D1 过G作GHPQ于H，连BH，则BHPQ，故BHG是二面角B-PQ-D的平面角。 （10分） 由GHQQC1P得GH=，又BG=1，得tanBHG=二面角B-PQ-D大小为arctan （12分）10、解 本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。
15、（）证法一：如图建立空间直角坐标系。则D1（0，0，0）、O1（2，2，0）B1（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、F（0，4，4）。 2分=（-4，4，-4），=（0，4，4），=（-4，0，4） .4分=0+16-16=0，=16+0-16=0AF平面FD1B1. 6分证法二：连结BF、DF，则BF是AF在面BC1上的射影，易证得BFB1F，DF是AF在面DC1上的射影，也易证得DFD1F，所以AF平面FD1B1.（）解法一：=（2，4，0），=（-2，2，4） .9分设与的夹角为，则=13分解法二：在B1C1上取点H，使B1H=1，连O1H和FH。易证明O1HEB，则FO1H为异面直线EB与F所成角。.9分又O1H=BE=，HF=5，O1F=2，在O1HF中，由余弦定理，得cosFO1H=.13分
