1、核心素养测评五十 椭圆(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019北京高考)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【解析】选B.离心率平方e2=,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.2.已知椭圆+=1(ab0)的一个焦点是x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)【解析】选D.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3,又b=4,所以a=5,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左
2、顶点为(-5,0).3.已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为()A.8B.6C.5D.4【解析】选A.椭圆+=1(ab0)的离心率e=,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2,所以b=4,则椭圆短轴长为2b=8.4.(多选)(2020青岛模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点,则下列说法正确的是()A.椭圆C的方程为+x2=1B.椭圆C的方程为+y2=1C.|PQ|=D.PF2Q的周长为4【解析】选ACD.由已知得,2b=2,b=
3、1,=,又a2=b2+c2,解得a2=3.所以椭圆方程为x2+=1.如图:所以|PQ|=,PF2Q的周长为4a=4.5.已知点P(x1,y1)是椭圆+=1上一点,F1,F2是左、右焦点,若F1PF2取最大值时,则PF1F2的面积是()A.B.12C.16(2+)D.16(2-)【解析】选B.因为椭圆方程+=1,所以a=5,b=4,c=3,因此,椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0),根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,F1PF2取最大值,则此时PF1F2的面积S=234=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020南阳模拟)已知O为坐标原点,F为椭圆C:+=1(ab
4、0)的右焦点,过点F且倾斜角为120的直线与椭圆C交于第一象限一点P,若POF为正三角形,则椭圆C的离心率为_.【解析】因为|OF|=c,POF为正三角形,所以|PO|=c,则点P的坐标为,故有整理得e4-8e2+4=0,解得e2=4-2,所以e=-1.答案:-17.以椭圆C:+=1在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为_;该双曲线的渐近线方程为_.【解析】椭圆C:+=1在x轴上的顶点为(,0),焦点为(1,0),设双曲线的方程为-=1(a0,b0),可得a=1,c=,b=2,可得x2-=1.双曲线的渐近线方程为:y=2x.答案:x2-=1y=2x8.点M是椭圆+=1(ab0)上的
5、点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q,若PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是_.【解析】不妨设圆M与椭圆相切于左焦点F,设M(-c,yM),由圆的性质可知:|MF|=|MQ|=|MP|=|yM|,则=-c2,即|PQ|2=4-4c2,由MPQ为钝角三角形,即PMQ为钝角,则cosPMQ=0,所以2c2-0.又因为M(-c,yM)在椭圆上,代入化简得=,故2c2-0,即e4-4e2+10,解得e22+,又e(0,1),所以e22-,故0eb0)的离心率e=,且椭圆C经过点(2,).(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B两
6、点,若线段AB恰被点P所平分,求直线l的方程.【解析】(1)由题意得解得a2=8,b2=6,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意点P在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,得+=0,AB的中点为P(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得+=0,得kAB=-.所以直线l的方程为y-1=-(x-2),即3x+2y-8=0.10.若A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2.(1)若y1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程.(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.【解析】(1)设AB的中点为M,则M1,由得+
7、(y1-y2)(y1+y2)=0,所以 (x1-x2)+(y1-y2)=0=-,即kAB=-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1),即9x-2y-8=0.(2)由题意知AB斜率存在,设直线AB:y=kx+m.由得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,x1+x2=-=2,即9k2+9km+1=0,因为A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,所以k0,=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)0,即9k2-m2+10,结合得m=(-k)+ ,当且仅当k=-时,取等号,此时,k=-,m=满足.所以直线AB
8、在y轴上截距的最小值为.(15分钟35分)1.(5分)(2020苏州模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=168=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.2.(5分)(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|
9、,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.如图,由已知可设=n,则=2n,=3n,由椭圆的定义有2a=+=4n,所以=2a-=2n.在AF1B中,由余弦定理推论得cosF1AB=.在AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-22n2n=4,解得n=.所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为+=1.3.(5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为F,直线l:2x-y=0交椭圆C于A,B两点,且|AF|+|BF|=6,若点F到直线l的距离不小于2,则椭圆C的离心率e的取值范围是 ()A.B.C.D
10、.【解析】选B.设F1是椭圆的左焦点,由于直线l:2x-y=0过原点,因此A,B两点关于原点对称,所以四边形AF1BF是平行四边形,所以|BF1|+|BF|=|AF|+|BF|=6,即2a=6,a=3,点F(c,0)到直线l的距离d=2,所以c,又ca,即cb0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.【解析】(1)依题意有解得所以所求椭圆C的方程为+=1.(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=x+m.由得x
11、2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,又AOB为钝角等价于0且m0,则=x1x2+y1y2=x1x2+=x1x2+(x1+x2)+m20,将x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入,化简整理得m22,即-m0,所以f(t)在1,+)上递增,f(t)min=f(1)=16,故m=0时,四边形ABCD面积取最大值6.1.设点P为椭圆C:+=1上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且PF1F2的重心为点G,若|PF1|PF2|
12、=34,则GPF1的面积为 ()A.24B.12C.8D.6【解析】选C.因为点P为椭圆C上一点,|PF1|PF2|=34,|PF1|+|PF2|=2a=14,所以|PF1|=6,|PF2|=8,又因为|F1F2|=2c=10,所以PF1F2是直角三角形,=|PF1|PF2|=24,因为PF1F2的重心为点G,所以=3,所以GPF1的面积为8.2.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是 ()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.由题意知,c=1,a2-b2=1,故可设椭圆的方程为+=1,离心率的平方为,因为直线x-y+3=0与椭圆有公共点,将直线方程代入椭圆方程得(2b2+1)x2+6(b2+1)x+8b2+9-b4=0,由=36(b4+2b2+1)-4(2b2+1)(8b2+9-b4)0,所以b4-3b2-40,解得b24,所以b2的最小值为4,所以的最大值为,此时a2=b2+1=5,所以离心率最大的椭圆方程为+=1.
