1、专题七选考内容第1讲选修4-4坐标系与参数方程解答题1.(2019河北石家庄模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是x=t,y=2t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为2+2sin -3=0.(1)求直线l的极坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.解析(1)由x=t,y=2t消去t得y=2x,把x=cos,y=sin代入y=2x,得sin =2cos ,直线l的极坐标方程为sin =2cos .(2)2=x2+y2,y=sin ,曲线C的方程可化为x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,则曲线C是以(0
2、,-1)为圆心,2为半径的圆.又圆C的圆心C(0,-1)到直线l的距离d=55,|AB|=24-d2=2955.2.(2019江西南昌一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin-kcos +k=0(kR).(1)请写出曲线C的普通方程与直线l的一个参数方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且点M(1,0)为线段AB上的一个三等分点,求|AB|.解析(1)由已知得,曲线C的普通方程为x24+y23=1.易知直线l的直角坐标方程为y=k(x-1),则其一个参数方程为x
3、=1+tcos,y=tsin(t为参数).(2)联立(1)中直线l的参数方程与曲线C的普通方程,并化简得(3+sin2)t2+6tcos -9=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-6cos3+sin2,t1t2=-93+sin20,t20,t1=-2t2,代入中得cos2=49,sin2=59,所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=123+sin2=278.3.(2019广西桂林联考)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为x=tcos,y=y0+tsin(t为参数,为l的倾斜角),曲线E的极坐标方程
4、为=4sin ,射线=,=+6,=-6与曲线E分别交于不同于极点的A,B,C三点.(1)求证:|OB|+|OC|=3|OA|;(2)当=3时,直线l过B,C两点,求y0与的值.解析(1)证明:依题意知,|OA|=4sin ,|OB|=4sin+6,|OC|=4sin-6,则|OB|+|OC|=4sin+6+4sin-6=43sin =3|OA|.(2)当=3时,点B的极坐标为4sin2,2=4,2,点C的极坐标为4sin6,6=2,6,故B,C化为直角坐标为B(0,4),C(3,1),因为直线l过B、C两点,所以直线l的普通方程为y=-3x+4,所以y0=4,=23.4.(2019广西南宁模拟
5、)已知曲线C1的参数方程为x=cos,y=1+sin(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=4sin+3,直线l的直角坐标方程为y=33x.(1)求曲线C1和直线l的极坐标方程;(2)已知直线l分别与曲线C1、曲线C2的图象相交于异于极点的A,B两点,若A,B的极径分别为1,2,求|1-2|的值.解析(1)由曲线C1的参数方程x=cos,y=1+sin(为参数),得C1的普通方程为x2+(y-1)2=1,则曲线C1的极坐标方程为=2sin .易知直线l过原点,且倾斜角为6,所以直线l的极坐标方程为=6(R).(2)将=6代入C1的极坐标方程得1=1,将=6代入C2的极坐标方程得2=4,所以|1-2|=3.
