1、第二节数学归纳法课时作业练1.(2019江苏徐州高三模拟)已知数列an满足a1=1,当n2时,an-1an=1+an-12-1.(1)用数学归纳法证明:an=tan2n+1;(2)求证:Cn1(an-1)+2Cn2(an-1)2+kCnk(an-1)k+nCnn(an-1)n0.证明(1)将a1=1代入a1a2=1+a12-1得a2=2-1,当n=1时,a1=tan4=1成立.假设当n=k(kN*,k1)时成立,即ak=tan2k+1,则当n=k+1时,ak+1=1+ak2-1ak=1+tan22k+1-1tan2k+1=1-cos2k+1sin2k+1=tan2k+2,所以当n=k+1时结论
2、也成立.综上所述,an=tan2n+1.(2)因为kCnk=kAnkk!=nCn-1k-1,所以kCnk(an-1)k=(an-1)nCn-1k-1(an-1)k-1.因此Cn1(an-1)+2Cn2(an-1)2+kCnk(an-1)k+nCnn(an-1)n=(an-1)nann-1.由(1)知,an=tan2n+1(0,1,所以(an-1)nann-10,得证.2.(2018宁波九校联考)已知nN*,Sn=(n+1)(n+2)(n+n),Tn=2n13(2n-1).(1)求S1,S2,S3,T1,T2,T3;(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.解析(1)S1=T1=2,S2=
3、T2=12,S3=T3=120.(2)猜想:Sn=Tn(nN*).证明:当n=1时,S1=T1;假设当n=k(k1且kN*)时,Sk=Tk,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1),则当n=k+1时,Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2)=2k13(2k-1)k+1(2k+1)(2k+2)=2k+113(2k-1)(2k+1)=Tk+1.即n=k+1时也成立,由可知,nN*,Sn=Tn成立.3.(2019苏锡常镇四市高三模拟)设n2,nN*.有序数组(a1,a2,an)经m次变
4、换后得到数组(bm,1,bm,2,bm,n),其中b1,i=ai+ai+1,bm,i=bm-1,i+bm-1,i+1(i=1,2,n),an+1=a1,bm-1,n+1=bm-1,1(m2).例如:有序数组(1,2,3)经1次变换后得到数组(1+2,2+3,3+1),即(3,5,4);经第2次变换后得到数组(8,9,7).(1)若ai=i(i=1,2,n),求b3,5的值;(2)求证:bm,i=j=0nai+jCmj,其中i=1,2,n.(注:当i+j=kn+t时,kN*,t=1,2,n,则ai+j=at)解析(1)依题意知,(1,2,3,4,5,6,7,8,n)经1次变换为(3,5,7,9,
5、11,13,15,n+1),经2次变换为(8,12,16,20,24,28,n+4),经3次变换为(20,28,36,44,52,n+12),所以b3,5=52.(2)证明:下面用数学归纳法证明对mN*,bm,i=j=0mai+jCmj,其中i=1,2,n.(i)当m=1时,b1,i=ai+ai+1=j=01ai+jC1j,其中i=1,2,n,结论成立;(ii)假设m=k(kN*)时,bk,i=j=0kai+jCkj,其中i=1,2,n.则m=k+1时,bk+1,i=bk,i+bk,i+1=j=0kai+jCkj+j=0kai+j+1Ckj=j=0kai+jCkj+j=1k+1ai+jCkj-
6、1=aiCk0+j=1kai+j(Ckj+Ckj-1)+ai+k+1Ckk=aiCk+10+j=1kai+jCk+1j+ai+k+1Ck+1k+1=j=0k+1ai+jCk+1j,所以结论对m=k+1时也成立.由(i)(ii)知,mN*,bm,i=j=0mai+jCmj,其中i=1,2,n.4.(2017浙江,22,15分)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).证明:当nN*时,(1)0xn+10.当n=1时,x1=10.假设n=k时,xk0,那么n=k+1时,若xk+10,则00.所以xn0(nN*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.所
7、以0xn+10(x0).函数f(x)在0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=0,所以xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0,故2xn+1-xnxnxn+12(nN*).(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn12n-1.由xnxn+122xn+1-xn得1xn+1-1221xn-120,所以1xn-1221xn-1-122n-11x1-12=2n-2,故xn12n-2.综上,12n-1xn12n-2(nN*).5.(2019浙江宁波高考模拟)三个数列an,bn,cn满足a1=-1110,b1=1,an+1
8、=|an-1|+an2-2an+52,bn+1=2bn+1,cn=abn,nN*.(1)证明:当n2时,an1;(2)是否存在集合a,b,使得cna,b对任意nN*成立?若存在,求出b-a的最小值;若不存在,请说明理由;(3)求证:22c2+23c3+2ncn2n+1+cn+1-6(nN*,n2).解析(1)下面用数学归纳法证明:当n2时,an1.(i)当n=2时,由a1=-1110,an+1=|an-1|+an2-2an+52,得a2=52,显然成立;(ii)假设n=k时命题成立,即ak1.则n=k+1时,ak+1=ak-1+ak2-2ak+52.于是ak+1-1=ak-3+ak2-2ak+
9、52.因为(ak2-2ak+5)2-(3-ak)2=4(ak-1)0.所以ak+11,这就是说n=k+1时命题成立.由(i)(ii)可知,当n2时,an1.(2)由bn+1=2bn+1,b1=1,得bn+1+1=2(bn+1),所以bn+1=2n,从而bn=2n-1.(5分)由(1)知,当n2时,an1,所以,当n2时,an+1-an=an2-2an+5-(1+an)2.因为an2-2an+5-(1+an)2=4(1-an)0,所以an+1an,综上,当n2时,1an+1an.a1=-1110,an+1=f(an)(nN*),所以c1=a1=-1110,a2=52,a3=2,所以c1c31,又
10、c1=a1=-1110,a2=52,c2=a3=2.从而存在集合a,b,使得cna,b对任意nN*成立,当b=c2=a3=2,a=c1=-1110时,b-a的最小值为c2-c1=3110.(3)证明:当n2时,an1,所以an=an+12+an+1-1an+1,即anan+1=an+12+an+1-1,也即an-an+1=1-1an+1,cn-cn+1=abn-abn+1=(abn-abn+1)+(abn+1-abn+2)+(abn+1-1-abn+1)=1-1abn+1+1-1abn+2+1-1abn+1=(bn+1-bn)-1abn+1+1abn+2+1abn+12n-2ncn,即2ncn
11、2n+cn+1-cn(n2).于是i=2n2icii=2n(2i+ci+1-ci)=2n+1-4+cn+1-c2=2n+1+cn+1-6.故22c2+23c3+2ncn2n+1+cn+1-6(nN*,n2).基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.(2018江苏苏州学业阳光指标调研)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=-8x的焦点坐标为.答案(-2,0)2.已知向量m,n满足m=(2,-3),n=(3,1),则2m(m+n)=.答案32解析m+n=(5,-2),2m(m+n)=(4,-6)(5,-2)=20+12=32.3.(2018江苏泰州中学高三月考)对于常数m、n,“mn0”是方程“mx2+
12、ny2=1的曲线是椭圆”的条件.答案必要不充分解析方程“mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的充要条件是m0,n0,mn.所以“mn0”是方程“mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.4.(2018江苏徐州高三模拟)运行如图所示的伪代码,输出的S的值为.S0For I From 1 To 9SS+IEnd ForPrint S答案45解析该伪代码运行9次,则S=1+2+3+9=9(1+9)2=45.5.在等比数列an中,a1,a9是方程x2-11x+9=0的两根,则a3a7+a5=.答案12解析由a1,a9是方程x2-11+9=0的两根得,a1a9=9,a1+a9=11,则a1,a9都是
13、正数.又由an是等比数列得,a3a7=a1a9=a52=9,所以a5=3.所以a3a7+a5=12.6.将函数f(x)=5cos6x+4图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移24个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)的对称中心为.答案6+12k,1,kZ解析将函数f(x)=5cos6x+4图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到y=5cos2x+4的图象,再向右平移24个单位长度得到y=5cos2x-24+4=5cos2x+6的图象,再向上平移1个单位长度得到y=5cos2x+6+1的图象,由2x+6=2+k,kZ得,x=6+12k,kZ,则对
14、称中心是6+12k,1,kZ.7.已知a0,b0,两直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:2bx-y+2=0,且l1l2,则2a+1b的最小值为.答案8解析由l1l2得,-(a-1)=2b,即a+2b=1.又a0,b0,则2a+1b=2a+1b(a+2b)=4+4ba+ab4+24baab=8,当且仅当4ba=ab,即a=2b=12时取等号,故2a+1b的最小值为8.8.(2018江苏南通高考数学冲刺小练)在平面直角坐标系xOy中,M为直线x=3上一动点,以M为圆心的圆记为圆M,若圆M截x轴所得的弦长恒为4,过点O作圆M的一条切线,切点为P,则点P到直线2x+y-10=0的距离的最大值为.
15、答案35解析设M(3,t),P(x0,y0),由题意得OPPM,所以OPPM=0,即x02+y02-3x0-ty0=0.又圆M截x轴所得的弦长为4,所以4+t2=(x0-3)2+(y0-t)2.整理得x02+y02-6x0-2ty0+5=0.结合得,x02+y02=5,即点P在圆x2+y2=5上,于是P到直线2x+y-10=0的距离的最大值为105+5=35.9.(2018江苏高考信息预测)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA底面ABCD,四边形ABCD为矩形,AD=2AB=2AP=2,E为PD上一点,且PE=2DE.(1)若F为PE的中点,求证:BF平面ACE;(2)求三棱锥P-ACE的体积.解析(1)证明:PE=2DE,F为PE的中点,E为DF的中点.连接BD,设BD与AC的交点为O,连接OE.四边形ABCD为矩形,O为BD中点.BFOE.又OE平面ACE,BF平面ACE,BF平面ACE.(2)侧棱PA底面ABCD,且四边形ABCD为矩形.CDPA,CDAD.又PAAD=A,PA,AD平面PAD,CD平面PAD,CD平面PAD.V三棱锥P-ACE=V三棱锥C-PAE=13SPAE|CD|=1323SPAD|CD|=132312211=29.