1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知，则复数（）A.B.C.D. 设是两个集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件执行如图所示的程序框图.如果输入，则输出的A.B.C.D. 若变量满足约束条件，则的最小值为（）A.B. C.D.设函数，则是（）A.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数C.偶函
2、数，且在上是增函数D.偶函数，且在上是减函数已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A.B.C.D.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A. 2386B. 2718C. 3413D. 4772附：若，则已知点在圆上运动，且.若点的坐标为，则的最大值为（）A.B.C.D.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的有，则（）A.B.C.D.10某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为A.B.C.D. 二、填空题
3、：本小题共小题，每小题分，共分.11.12在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为35号，再用系统抽样方法从中抽取人，则其中成绩在区间上的运动员人数是.13设是双曲线的一个焦点.若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴一个端点，则的离心率为.14设为等比数列的前项和.若且成等差数列，则.15已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是.三、解答题：本大题共小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）本小题设有I，II，III三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内.
4、如果全做，则按所做的前两题计分.I（本题满分分）选修：几何证明选讲如图，在中，相交于点的两弦的中点分别是，直线与直线相交于点，证明：（i） （ii）II（本题满分分）选修：坐标系与参数方程已知直线（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（i）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.III（本题满分分）选修，不等式选讲设且，证明：（i）（ii）不可能同时成立.17（本小题满分12分）设的内角的对边分别为，且为钝角.（I）证明：；（II）求的取值范围.18（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定
5、金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有个红球、个白球的甲箱和装有个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出个球.在摸出的个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（I）求顾客抽奖次能获奖的概率；（II）若某顾客有次抽奖机会，记该顾客在次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.19（本小题满分12分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形.且底面，点分别在棱上.（I）若是的中点，证明：（II）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.20（本小题满分12分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（I）求的方程； （II）过点的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.（i）若，求直线的斜率；（ii）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形. 21（本小题满分12分）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点.证明：（I）数列是等比数列；（II）若，则对一切，恒成立.- 5 - 版权所有高考资源网