1、安徽省宣城市2021届高三数学下学期4月第二次调研测试试题 理一、选择题（共12小题）1.若为纯虚数，且满足，则（ ）A.2 B.1 C.1 D.22.已知集合，则（ ）A. B. C. D.3.函数部分图象大致为（ ）A. B.C. D.4.设是两个不同平面，直线，直线，则下列结论正确的是（ ）A.是的充分条件 B.是的必要条件C.是的必要条件 D.是的必要条件5.采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用如图为国家
2、统计局所做的我国2019年12月及2020年112月份的采购经理指数（PMI）的折线图，若PMI指数为50%，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的（ ）A.2020年1至12月的PMI指数的最大值出现在2020年3月份B.2020年1至12月的PMI指数的中位数为51.0%C.2020年1至3月的PMI指数的平均数为49.9%D.2020年1月至3月的月PMI指数相对10月至12月，波动性更大6.设，则（ ）A. B.C. D.7.已知抛物线的焦点，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），于点，直线交轴于点，则（ ）A.4 B. C.2 D.8.围棋起源于中国，据先秦
3、典籍世本记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军（假设没有平局），比赛结束假设每局比赛乙胜甲的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（ ）A. B. C. D.9.已知函数，将的图象向左平移个单位得到函数的图象给出下列命题：的一条对称轴为；在上是单调递增函数；的一个对称中心为；的最大值为1.以上命题中，正确的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.310.已知随机变量服从二项分布，其期望，当满足约束条件时，目标函数的最小值为，的
4、展开式中各项系数之和为（ ）A. B. C. D.11.设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C.2 D.512.已知关于的方程有三个不同的根，分别为，则（ ）A.3 B.5 C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知三个单位向量满足，则 14.曲线在点处的切线与曲线相切，则 15.如图，在四边形中，若是的角平分线，则的长为 16.已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在体积为的球面上，它的两条边的长度分别为和，则的伴随球的表面积的取值范围是 三、解答
5、题本大题共5小题，满分60分解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知为数列的前项和，数列是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和18.如图，直三棱柱中，分别是棱的中点（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值19.已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，右焦点为，离心率为，其中（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上异于的任意一点，过点且与椭圆相切的直线与，分别交于两点，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在
6、，请说明理由20.某市为了解游客对某景区的满意程度，市文旅委随机对景区的1000名游客进行问卷调查（满分100分），这1000名游客的评分分别落在区间，内，游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示，视频率为概率（1）求频率分布直方图中的值，规定评分不低于80分为非常满意，6080分为基本满意，低于60分为不满意，记游客非常满意的概率为市文旅委对部分游客进行了继续去旅游的意愿调查，若“不再去旅游”记1分，“继续去旅游”记2分，假设每位游客有继续旅游意愿的概率均为，且这次调查得分恰为分的概率为，求；（2）用分层抽样的方法，从这1000名游客中抽取5人，组成咨询小组若从该小组中抽
7、取2人进行咨询记2人中非常满意人数为，求的分布列和数学期望21.已知函数，其中（）若，求函数的极值；（）设若在上恒成立，求实数的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程；（2）射线，和曲线分别交于两点，与直线分别交于两点，求四边形的面积选修45：不等式选讲23.已知关于的不等式有解（1）求实数的取值范围；（2）若均为正数，为的最大值，且求证：参考答案一、选
8、择题（每小题5分）1.若为纯虚数，且满足，则（ ）A.2 B.1 C.1 D.2解：，为纯虚数，故选：C2.已知集合，则（ ）A. B. C. D.解：，故选：C3.函数部分图象大致为（ ）A. B.C. D.解：函数是奇函数，排除选项B，A，或，当时，对应点在第一象限，排除C，故选：D4.设是两个不同平面，直线，直线，则下列结论正确的是（ ）A.是的充分条件 B.是的必要条件C.是的必要条件 D.是的必要条件解：，故是充分条件，故A正确，由，得或异面，故不是必要条件，故B错误，由推不出，也可能与平行，故不是必要条件，故C错误，由推不出，也可能平行，不是必要条件，故D错误，故选：A5.采购经理
9、指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用如图为国家统计局所做的我国2019年12月及2020年112月份的采购经理指数（PMI）的折线图，若PMI指数为50%，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的（ ）A.2020年1至12月的PMI指数的最大值出现在2020年3月份B.2020年1至12月的PMI指数的中位数为51.0%C.2020年1至3月的PMI指数的平均数为49.9%D.2020年1月至3月的月PMI指数
10、相对10月至12月，波动性更大解：根据折线图可得，2020年112月的PMI指数的最大值出现在2020年11月，故A错误；根据中位数的定义，将2020年112月的PMI指数按从小到大的顺序排列后，可知排在第五和第六位的两个数据的平均数即为中位数，即可得中位数为，故B错误；根据平均数的定义，可求得2020年13月的PMI指数的平均数为，故C错误；根据图中折线可得，2020年1月至3月的PMI指数相对10月至12月，波动性更大，故D正确故选：D6.设，则（ ）A. B.C. D.解：，即，故选：D7.已知抛物线的焦点，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），于点，直线交轴于点，则（
11、）A.4 B. C.2 D.解：由题意，可知：直线联立，整理，得解得，或当时，；当时，点坐标为准线点坐标为直线斜率，点坐标为故选：B8.围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军（假设没有平局），比赛结束假设每局比赛乙胜甲的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（ ）A. B. C. D.解：在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况：甲前三局全胜，概率为；前三局甲两胜一负，第四局甲胜，概率为在不超过
12、4局的比赛中甲获得冠军的概率为：故选：A9.已知函数，将的图象向左平移个单位得到函数的图象给出下列命题：的一条对称轴为；在上是单调递增函数；的一个对称中心为；的最大值为1以上命题中，正确的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.3解：将的图象向左平移个单位得，对于，因为，所以不是的对称轴，所以错；对于，因为，所以在上是单调递减函数，由复合函数单调性知在上是单调递减函数，所以错；对于，因为，所以关于对称，所以对；对于，因为，所以错故选：B10.已知随机变量服从二项分布，其期望，当满足约束条件时，目标函数的最小值为，的展开式中各项系数之和为（ ）A. B. C. D.解：由约束条件作出可行域如图，
13、联立，可得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为，即随机变量服从二项分布，其期望，即，取，可得的展开式中各项系数之和为故选：A11.设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C.2 D.5解：不妨设，过作双曲线一条渐近线的垂线方程为，与联立可得；与联立可得，整理得，即，故选：C12.已知关于的方程有三个不同的根，分别为，则（ ）A.3 B.5 C. D.解：令，如图示：令，即，要使有不同的零点，则有2个不同的根，则或，或，或，故当时，当时，故关于的方程的其中1个根必须为2或2，此时直线或直线时刚
14、好与函数相切，当时，不合题意，故得，若，则该方程无解，不合题意，由，得：，当，此时，不合题意，当，此时，解得：，由，当，解得：，当，整理得，故，故，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知三个单位向量满足，则 解：三个单位向量满足，即：，故答案为：14.曲线在点处的切线与曲线相切，则解：对求导，得，则曲线在点处的切线方程为，即设与相切于点，对求导，得，由，得，即切点为又切点在切线上，即故答案为：15.如图，在四边形中，若是的角平分线，则的长为 5 解：中，由余弦定理得，所以，又，由正弦定理得，所以，又，中，由正弦定理得，所以，即的长为5故答案为：516.已知为球面上四点
15、，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在体积为的球面上，它的两条边的长度分别为和，则的伴随球的表面积的取值范围是 解：由题意可知，球的半径为，分别取球的两条弦的中点，则，即弦分别是以为球心，半径为1和2的球的切线，且弦在以为球心，半径为1的球的外部，的最大距离为，最小距离为当三点共线时，分别取最大值与最小值故半径分别为，半径为时，的伴随球的体积为，当半径为时，的伴随球的体积为的伴随球的体积的取值范围是故答案为：三、解答题本大题共5小题，满分60分解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求
16、作答（一）必考题：共60分17.已知为数列的前项和，数列是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和解：（1）由为数列的前项和，数列是等差数列，设首项为，公差为，因为所以，解得，故，当时，当时，所以（2）由（1）得，所以设，得，整理得，故18.如图，直三棱柱中，分别是棱的中点（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得， 平面平面；（2）解：由（1）可得，平面的一个法向量为得，设平面的一个法向量为，由，取，得
17、，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为19.已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，右焦点为，离心率为，其中（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上异于的任意一点，过点且与椭圆相切的直线与，分别交于两点，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）由条件可得所以，又，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）设，所以，对椭圆求导得，所以，所以切线方程为，将代入上式，得切线方程，分别联立，得，所以以为直径的圆，圆心为，半径，所以，因为，所以，所以，所以圆的方程为，令，得，得时，所以为直径的圆是否过定点20.某市为了解游客对某景区的满意程度，市文旅委随机对景区的10
18、00名游客进行问卷调查（满分100分），这1000名游客的评分分别落在区间，内，游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示，视频率为概率（1）求频率分布直方图中的值，规定评分不低于80分为非常满意，6080分为基本满意，低于60分为不满意，记游客非常满意的概率为市文旅委对部分游客进行了继续去旅游的意愿调查，若“不再去旅游”记1分，“继续去旅游”记2分，假设每位游客有继续旅游意愿的概率均为，且这次调查得分恰为分的概率为，求；（2）用分层抽样的方法，从这1000名游客中抽取5人，组成咨询小组若从该小组中抽取2人进行咨询记2人中非常满意人数为，求的分布列和数学期望解：（1）由频率分
19、布直方图可得，解得，游客满意的概率，由题意可知调查的人数为2人或3人或4人，若调查的人数为2人，则，若调查的人数为3人，则，若调查的人数为4人，则（2）由（1）可得非常满意有50.42人，故的所有可能取值为0，1，2，所以的分布列为：012数学期望21.已知函数，其中（）若，求函数的极值；（）设若在上恒成立，求实数的取值范围解：（）当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，函数的极小值为，无极大值；（），若在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，则，令，（i）若，可知恒成立，在上单调递增，当，即时，在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立，满足条件，当，即时，存在唯一的，使得，当时，即，在上单调递
20、减，这与矛盾，（ii）若，由，可得（舍去），易知在上单调递减，在上恒成立，即在上恒成立，在上单调递减，在上恒成立，这与矛盾，综上所求，实数的取值范围为：（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程；（2）射线，和曲线分别交于两点，与直线分别交于两点，求四边形的面积解：（1）曲线的参数方程为（为参数）转换为直角坐标方程为，根据，转换为极坐标方程为曲线的直角坐标方程为，根据，整理得，（2）射线和曲线分别交于两点，所以，与直线分别交于两点，所以，所以，设四边形的面积为，则选修45：不等式选讲23.已知关于的不等式有解（1）求实数的取值范围；（2）若均为正数，为的最大值，且求证：解：（1），当时，的最大值为3，关于的不等式有解等价于，当时，上述不等式转化为，解得，当时，上述不等式转化为，解得，综上所述的取值范围为，故实数的取值范围证明：（2）根据（1）可得均为正实数，且满足， 当且仅当时，取等号，所以