1、学案2 习题课：曲线运动学习目标定位 1.进一步理解合运动与分运动等有关物理量之间的关系.2.会确定互成角度的两分运动的合运动的运动性质.3.会分析运动的合成与分解的两个实例：小船渡河问题和关联物体速度的分解问题1曲线运动的轨迹特点：做曲线运动的物体，总是要受到与运动方向不在同一直线上的力的作用，使其运动轨迹发生改变，其改变后的轨迹处在运动方向与合力方向构成的夹角之间，且合外力总指向运动轨迹的凹侧，如图1所示图12物体做曲线运动的条件(1)动力学条件：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动(2)运动学条件：当物体的加速度方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线
2、运动3合运动与分运动关系的三个特性：等效性、等时性、独立性.一、合运动与分运动的关系合运动与分运动的关系：(1)等效性：各分运动的共同运动效果与合运动的运动效果相同(2)等时性：各分运动与合运动同时发生和结束(3)独立性：各分运动之间互不相干、彼此独立、互不影响在解决此类问题时，要深刻理解“等效性”；利用“等时性”把两个分运动与合运动联系起来；坚信两个分运动的“独立性”，放心大胆地在两个方向上分别研究例1质量m2 kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图线如图2(a)、(b)所示，求：图2(1)物体所受的合力；(2)物体的初速度；(3)t8 s时物体的速度；(4)t4 s
3、内物体的位移解析(1)物体在x方向：ax0；y方向：ay0.5 m/s2根据牛顿第二定律：F合may1 N，方向沿y轴正方向(2)由题图可知vx03 m/s，vy00，则物体的初速度为v03 m/s，方向沿x轴正方向(3)由题图知，t8 s时，vx3 m/s，vy4 m/s，物体的合速度为v5 m/s，设速度方向与x轴正方向的夹角为，则tan ，53，即速度方向与x轴正方向的夹角为53.(4)t4 s内，xvxt12 m，yayt24 m.物体的位移l12.6 m设位移方向与x轴正方向的夹角为，则tan ，所以arctan 即与x轴正方向的夹角为arctan .答案(1)1 N，沿y轴正方向(
4、2)3 m/s，沿x轴正方向(3)5 m/s，与x轴正方向的夹角为53(4)12.6 m，与x轴正方向的夹角为arctan 二、合运动运动性质的判断分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断1判断是否做匀变速运动(1)若a0时，物体沿合初速度v0的方向做匀速直线运动(2)若a0且a恒定时，做匀变速运动(3)若a0且a变化时，做非匀变速运动2判断轨迹的曲直(1)若a与速度共线，则做直线运动(2)若a与速度不共线，则做曲线运动例2如图3所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的
5、水平速度沿吊臂方向做匀速直线运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以dH2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做()图3A速度大小不变的曲线运动B速度大小增加的曲线运动C加速度大小、方向均不变的曲线运动D加速度大小、方向均变化的曲线运动解析B物体在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上由dH2t2得出做匀加速直线运动B物体的实际运动是这两个分运动的合运动对速度和加速度进行合成可知，加速度恒定且与速度不共线所以应选B、C两项答案BC三、小船渡河问题小船渡河问题一般有渡河时间最短和航程最短两类问题：1关于最短时间，可根据运动等时性原理由船对静水的分
6、运动时间来求解，由于河宽一定，当船对静水速度v1垂直河岸时(如图4所示)，垂直河岸方向的分速度最大，所以必有tmin.图42关于最短航程，一般考察水流速度v2小于船对静水速度v1的情况较多，此种情况船的最短航程就等于河宽d，此时船头指向应与上游河岸成角(如图5所示)，且cos ；(若v2v1，则最短航程sd，此时船头指向应与上游河岸成角，且cos )图5例3已知某船在静水中的速率为v14 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d100 m，河水的流动速度为v23 m/s，方向与河岸平行试分析：(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置
7、怎样？船发生的位移是多大？(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？解析(1)根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v最大时，渡河所用时间最短设船头指向上游且与上游河岸夹角为，其合速度v与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度vv1sin ，则船渡河所用时间为t.显然，当sin 1即90时，v最大，t最小，此时船身垂直于河岸，船头始终垂直指向对岸，但船实际的航向斜向下游，如图所示渡河的最短时间tmin s25 s船的位移为ltmin25 m125 m船渡过河时到达正对岸的下游A处
8、，其顺水漂流的位移为xv2tmin325 m75 m.(2)由于v1v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游，且与河岸成角，如图所示，则cos ，arccos .船的实际速度为v合 m/s m/s故渡河时间：t s s.答案见解析四、关联物体速度的分解绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两者的速度是有联系的(一般两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等)，我们称之为“关联”速度解决此类问题的一般步骤如下：第一步：先确定合运动，物体的实际运动就是合运动；第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大
9、小；二是沿垂直于牵引方向的转动效果，改变速度的方向；第三步：按平行四边形定则进行分解，作好运动矢量图；第四步：根据沿绳(或杆)牵引方向的速度相等列方程例4如图6所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度的大小分别为vB、vA，则()图6AvAvB BvAvBCvAvB D重物B的速度逐渐增大解析如图所示，汽车的实际运动是水平向左的运动，它的速度vA可以产生两个运动效果：一是使绳子伸长；二是使绳子与竖直方向的夹角增大，所以车的速度vA应有沿绳方向的分速度v0和垂直绳的分速度v1，由运动的分解可得v0vA cos ；又由于vBv0，所以vAvB，故C正确因
10、为随着汽车向左行驶，角逐渐减小，所以vB逐渐增大，故D正确答案CD1(合运动与分运动的关系)对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是()A合运动的速度大小等于两个分运动的速度大小之和B合运动的速度一定大于某一个分运动的速度C合运动的方向就是物体实际运动的方向D由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小答案C解析根据平行四边形定则，邻边表示两个分运动的速度，合运动的速度的大小和方向可由对角线表示，由几何关系知，两邻边和对角线的长短关系因两邻边的夹角不同而不同，当两邻边长短不变，而夹角改变时，对角线的长短也将发生改变，即合速度也将变化，故A、B、D错，C正确2(合运动运动性质的判断)关于运动的合成，
11、下列说法中正确的是()A两个直线运动的合运动，一定是直线运动B两个直线运动的合运动，可能是曲线运动C两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动D两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动答案BC解析两个匀速直线运动的合成，就是其速度的合成，其合速度是确定的，等于两个分速度的矢量和，加速度为零，即合力为零，故合运动一定是匀速直线运动，C对；两个分运动的合加速度方向与合速度的方向不一定在同一直线上，既有可能做曲线运动，也有可能做直线运动，不是“一定”，而是“可能”，故A、D错，B对3(关联物体速度的分解)如图7所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过滑轮用不可伸长
12、的轻绳将物体拉着匀速向上运动则关于拉力F及拉力作用点的移动速度v的下列说法正确的是()图7AF不变、v不变BF增大、v不变CF增大、v增大DF增大、v减小答案D解析设绳子与竖直方向上的夹角为，因为A做匀速直线运动，在竖直方向上合力为零，有：Fcos mg，因为增大，则F增大物体A沿绳子方向上的分速度vv物cos ，因为增大，则v减小D正确4(小船渡河问题)小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s.求：(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？答案(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为
13、50 s.(2)船头偏向上游，与河岸成60角，最短航程为200 m.解析(1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin s50 s.(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即应使v合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成角，有cos ，解得60.题组一合运动与分运动的关系、合运动运动性质的判断1关于运动的合成与分解，以下说法正确的是()A合运动的位移为分运动位移的矢量和B物体的两个分运动若是直线运动，则它的合运动一定是直线运动C合运动和分运动具有等时性D若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动答案AC解析位移是矢量，其运算满足平行四边形定则，A正确；两个直线
14、运动的合运动也有可能是曲线运动，B、D项错；合运动与分运动具有等时性，C项正确2关于互成角度的两个初速度不为零的匀速直线运动的合运动，下列说法正确的是()A一定是直线运动B一定是曲线运动C可能是直线运动，也可能是曲线运动D以上都不对答案A解析两个运动都是匀速直线运动，所以加速度都为零，所以合运动的加速度也一定为零两个互成角度的运动的初速度不为零，所以合运动的初速度不为零所以合运动是初速度不为零，加速度为零的运动，即匀速直线运动3如图1甲所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现假使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关
15、于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的有()图1A笔尖留下的痕迹可以是一条如图乙所示的抛物线B笔尖留下的痕迹可以是一条倾斜的直线C在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变D在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变答案D解析由题可知，铅笔尖既随三角板向右做匀速运动，又沿三角板直角边向上做匀加速运动，其运动轨迹是向上弯曲的抛物线故A、B错误在运动过程中，笔尖运动的速度方向是轨迹的切线方向，时刻在变化故C错误笔尖水平方向的加速度为零，竖直方向加速度的方向向上，则根据运动的合成规律可知，笔尖运动的加速度方向始终竖直向上，保持不变故D正确4在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速
16、度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图2所示关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是()图2A相对地面的运动轨迹为直线B相对地面做变加速曲线运动Ct时刻猴子对地的速度大小为v0atDt时间内猴子对地的位移大小为答案D解析猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子的实际运动轨迹为曲线；因为猴子受到的合外力恒定(加速度恒定)，所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动；t时刻猴子对地的速度大小为vt ；t时间内猴子对地的位移大小为l .题组二关联物体的速度分解问题5如图3所示，
17、在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为()图3Av Bvcos C. Dvcos2 答案B解析如图所示，绳子与水平方向的夹角为，将小车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得，vPvcos .故B正确，A、C、D错误6如图4所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，小船水平向左运动，绳某时刻与水平方向夹角为，则小船的运动性质及此时刻小船的速度vx为()图4A小船做变加速运动，vxB小船做变加速运动，vxv0cos C小船做匀速直线运动，vxD小船做匀速直线运动，vxv0cos
18、 答案A解析如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小所以小船的速度vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx，角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变加速运动7如图5所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车匀速地从B点运动到M点，再运动到N点的过程中，关于物体A的运动和受力情况，下列说法正确的是()图5A物体A也做匀速直线运动B物体A的速度可能为零C绳的拉力总是等于A的重力D绳的拉力总是大于A的重力答案BD解析设和小车连接的绳子与水平面的夹角为，小车的速度
19、为v，则这个速度分解为沿绳方向向上和垂直绳方向向下的速度，解三角形得绳方向的速度为vcos ，随着小车匀速向右运动，显然逐渐先增大后减小，所以绳方向的分速度先越来越小后越来越大，又知物体A的速度与绳方向分速度大小一样，则在小车从右向左匀速行驶的过程中物体A先向下做减速运动，然后向上做加速运动加速度始终向上，当小车到达M点时，绳子的速度为零，则物体A的速度也为零则由牛顿第二定律得：Fmgma，即Fmgma，因此，绳的拉力总大于物体A的重力，故选项A、C错误，选项B、D正确题组三小船渡河问题8小船在静水中速度为4 m/s，它在宽为200 m，流速为3 m/s的河中渡河，船头始终垂直河岸，如图6所示
20、则渡河需要的时间为()图6A40 s B50 sC66.7 s D90 s答案B解析船头始终垂直河岸，渡河时间t s50 s，故选项B正确9小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是()A水速小时，位移小，时间也小B水速大时，位移大，时间也大C水速大时，位移大，但时间不变D位移、时间大小与水速大小无关答案C解析小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船“以一定速率垂直河岸向对岸划去”，故渡河时间一定水速大，水流方向的分位移就大，合位移也
21、就大，反之则合位移小10下列四个选项的图中实线为河岸，河水的流速v方向如图中箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，已知船在静水中速度小于水速，且船头方向为船对水的速度方向则其中可能正确的是()答案C解析因为静水速小于水流速，根据平行四边形定则知，合速度的方向不可能垂直河岸，也不可能偏向上游故A、B错误静水速垂直于河岸，合速度的方向偏向下游故C正确船头的指向为静水速的方向，静水速的方向不可能与合速度的方向一致故D错误11一只小船在静水中的速度为5 m/s，它要渡过一条宽为50 m的河，河水流速为4 m/s，则()A这只船过河位移不可能为50 mB这只船过河时间不可能为10 sC若河水
22、流速改变，船过河的最短时间一定不变D若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变答案C12如图7，MN是流速稳定的河流，河宽一定，小船在静水中的速度为v.现小船自A点渡河，第一次船头沿AB方向，到达对岸的D处；第二次船头沿AC方向，到达对岸E处，若AB与AC跟河岸垂线AD的夹角相等，两次航行的时间分别为tB、tC，则()图7AtBtC BtBtCCtBtC D无法比较tB与tC的大小答案C解析设第一次合速度为v1，设第二次合速度为v2，因为静水速与河岸夹角相等，则v1在垂直于河岸方向上的速度等于v2垂直于河岸方向上的速度，根据等时性知，tBtC.故C正确，A、B、D错误13如图8所示，河宽d120
23、 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点求：图8(1)小船在静水中的速度v1的大小；(2)河水的流速v2的大小；(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.答案(1)0.25 m/s(2)0.15 m/s(3)72 m解析(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1 m/s0.25 m/s.(2)设AB与河岸上游成角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2v1cos ，此时渡河时间为t，所以sin 0.8，故v2v1cos 0.15 m/s.(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCDv2tmin72 m