1、第三节三角函数的图象与性质突破点一三角函数的定义域和值域三角函数正弦函数ysin x余弦函数ycos x正切函数ytan x图象定义域RRxxR，且x值域1,11,1R最值当且仅当x2k(kZ)时，取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时，取得最小值1当且仅当x2k(kZ)时，取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时，取得最小值1一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数ysin x在x内的最大值为1.()(2)函数ytan的定义域为x.()(3)函数y的定义域为x，kZ.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1y的定义域为_解析：要使函数式有意义，需2sin x0，即sin x，借助正弦函数
2、的图象(图略)，可得2kx2k，kZ，所以该函数的定义域是(kZ)答案：(kZ)2函数y2cos，x的值域为_解析：x，02x，cos1，12cos0，得x(2k，2k)(kZ)答案：(2k，2k)(kZ)2.(2017全国卷)函数f(x)2cos xsin x的最大值为_解析：f(x)2cos xsin xsin(x)(其中tan 2)，故函数f(x)2cos xsin x的最大值为.答案：3.求函数ysin xcos x3cos xsin x的最值解：令tsin xcos x，则t，(sin xcos x)22sin xcos x1，sin xcos x，yt2t，t， ，对称轴t， ，y
3、minf，ymaxf().突破点二三角函数的性质函数ysin xycos xytan x图象最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2k，2k为增；2k，2k为减，kZ2k，2k为减；2k，2k为增，kZk，k为增，kZ对称中心(k，0)，kZ，kZ，kZ对称轴xk，kZxk，kZ一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数ysin x的图象关于点(k，0)(kZ)中心对称()(2)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(3)ysin|x|是偶函数()答案：(1)(2)(3)二、填空题1已知函数f(x)cos(0)的最小正周期为，则_.答案：22函数ycos的单调递减区间为_解析：由
4、ycoscos，得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函数的单调递减区间为(kZ)答案：(kZ)3若函数f(x)sin(0,2)是偶函数，则_.解析：由已知f(x)sin是偶函数，可得k，即3k(kZ)，又0,2，所以.答案：考法一三角函数的单调性考向一求三角函数的单调区间例1求下列函数的单调区间：(1)f(x)|tan x|；(2)f(x)cos，x.解(1)观察图象可知，y|tan x|的单调递增区间是，kZ，单调递减区间是k，k，kZ.(2)当2k2x2k(kZ)，即kxk，kZ时，函数f(x)是增函数；当2k2x2k(kZ)，即kxk，kZ时，函数f(x)是减函数因此函数f(
5、x)在上的单调递增区间是，单调递减区间为，.方法技巧求三角函数单调区间的2种方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解图象法画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间提醒求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域考向二已知单调性求参数值或范围例2(1)若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()A.B.C2 D3(2)(2019绵阳诊断)若f(x)cos 2xacosx在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析(1)因为f(x)sin x
6、(0)过原点，所以当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，所以.(2)f(x)12sin2xasin x，令sin xt，t，则g(t)2t2at1，t，因为f(x)在上单调递增，所以1，即a4.答案(1)B(2)(，4方法技巧已知单调区间求参数范围的3种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等
7、式(组)求解考法二三角函数的周期性例3(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A. B.C D2解析由已知得f(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期为T.答案C方法技巧 三角函数周期的求解方法公式法(1)三角函数ysin x，ycos x，ytan x的最小正周期分别为2，2，；(2)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为图象法利用三角函数图象的特征求周期如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期考法三三角函数的奇偶性例4(1)(2018枣庄一模)函数y12sin2x是()A最小正周期为
8、的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数(2)函数f(x)3sin，(0，)满足f(|x|)f(x)，则的值为()A. B.C. D.解析(1)y12sin2coscossin 2x，故函数y是最小正周期为的奇函数，故选A.(2)因为f(|x|)f(x)，所以函数f(x)3sin是偶函数，所以k，kZ，所以k，kZ，又因为(0，)，所以.答案(1)A(2)C方法技巧与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式常见的结论有：(1)若yAs
9、in(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则有k(kZ)(2)若yAcos(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则有k(kZ)(3)若yAtan(x)为奇函数，则有k(kZ)考法四三角函数的对称性(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“x”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解(2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设yf(x)Asin(x)，g(x)Acos(x)，xx0是对称轴方程f(x0)A，g(x0)A；(x0,0)是对称中心f(x0)0，g(x0)0.例5(1)(2019南昌十校联考)函
10、数ysin的图象的一个对称中心是()A(，0) B.C. D.(2)(2019合肥联考)函数f(x)sincos 2x的图象的一条对称轴的方程可以是()Ax BxCx Dx解析(1)令xk，kZ，得函数图象的对称中心为，kZ.当k1时，ysin的图象的一个对称中心为.故选B.(2)f(x)sincos 2xsin 2xcos 2xsin.令2xk(kZ)，可得x(kZ)令k1可得函数图象的一条对称轴的方程是x.答案(1)B(2)B方法技巧三角函数对称性问题的2种求解方法定义法正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点公式法函数yA
11、sin(x)的对称轴为x，对称中心为；函数yAcos(x)的对称轴为x，对称中心为；函数yAtan(x)的对称中心为.上述kZ1.已知函数f(x)2sin，则函数f(x)的单调递减区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：选D依题意，f(x)2sin2sin2x，令2k2x2k(kZ)，故2k2x2k(kZ)，解得f(x)的单调递减区间为(kZ)故选D.2.若函数f(x)2asin(2x)(0)，a是不为零的常数，f(x)在R上的值域为2,2，且在区间上是单调减函数，则a和的值是()Aa1， Ba1，Ca1， Da1，解析：选Bsin(2x)1,1，且f(x)2,2，2|
12、a|2，a1.当a1时，f(x)2sin(2x)，其最小正周期T，f(x)在区间内单调递减，且，为半个周期，f(x)maxf2sin2，2k(kZ)，2k(kZ)又0，a1不符合题意，舍去当a1时，f(x)2sin(2x)在，上单调递减，f(x)maxf2sin2，sin1，2k(kZ)，2k(kZ)又0，当k0时，a1，.故选B.3.下列函数中，周期为，且在上单调递增的奇函数是()Aysin BycosCycos Dysin解析：选Cysincos 2x为偶函数，排除A；ycossin 2x在上为减函数，排除B；ycossin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为，符合题意；ysincos x为偶函数，排除D.故选C.4.已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值为()A. BC. D解析：选B由题意得fsin1，k，kZ，k，kZ.，.