1、数 列 与 不 等 式专 题 七n数列与不等式的综合题是高考常见的试题这类试题，对数列方面的考查多属基础知识和基本技能的层级，而对不等式的考查，其口径往往比较宽，难度的调控幅度比较大，有时达到很高的层级试题排序，靠后者居多，常以难题的面貌出现，对综合能力的考查深刻这类试题，时常以递推关系或间接的形式给出数列对数列的提问，多涉及通项、前 项和或数列中的某些指定的参数，有时也会涉及多个数列n至于有关不等式的提问，可以是含变量 或其他参变量的不等式的证明或求解，抑或求某些量的取值范围，或者是不同量间的大小比较，等等试题的综合程度有时不大，有时很大，既有中低档次的题目，又有中高档次的题目，而且多数年份
2、属于后者对数列与不等式的综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧 12331481:nmaadaaaam已知数列为等差数列若，公差，且，求例的最大值考点1 数列与不等式性质、解法的综合:nmmm利用等差数列的前 项和公式建立关于的不等式，然后通过解不等式，确定 的取值范围，进而确定分析的最大值23112312484813163482584027:.17 mmaaaaaaaaaam madmmmmm由变形，得，又，公差，所以，整理，得，解得的最大，即值为解析 123nnnnn数列前 项和与不等式的综合题一般试题中要给定一定的不等关系，因
3、此确定前 项和的表达式是关键，主要考虑：利用等差数列与等比数列的前 项和公式求和；利用裂项法、错位相减法等求数列的前 项和；利用关于前项和的等差或等比数列的性质进【思维启迪】行转化 *21120.32NnnnnnnnnnaqnSnqbaabnTST设等比数列变式题：的公比为，前 项和，求 的取值范围；设，记的前 项和为，试比较和 的大小 111*1000.101100()110101,0(0).1010111.1 NnnnnnnnaSaSqqSnaaqqSnqqqqqqqq因为是等比数列，所以，当时，；当时，即上式等价于或由得，由，得综上，解析：2212233()223()231(1)()22
4、2010011120212.2222 nnnnnnnnnnnnnnnnnnbaaba qqTqq STSSqqSqqSqqqqTSqqTSqqTS由，得，则，于是又因为，且或，所以，当或时，当且时，；当或时，；解析：11271101221642918(11)92 nnnnnnnnnnnnanSdaaaaanSSbbnTnbTbnnb已知等差数列的前 项和为，公差，且，成等比数列求数列的前 项和；设，数列的前 项和为，求证：例2考点2 数列与不等式证明的综合 1:2122nnnnnSabbnnnb利用基本量方法，通过方程求出等差数列的公差；数列满足，这是一个等差数列的前 项和与一个关于 的一次函
5、数之比，数列极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知分析识解决 127172112111212610412122221221212222.22:nnnnnaaaaa aada adaddn nSnadnn nSnnbnnnbnnTnnnn因为，成等比数列，所以，即，又，所以，所以因为，所以是首项为，解析公差为 的等差数列，所以，122222918221811821636281642444(4)nnTbnnnnnnnnn所以当且仅当时取“”，1116464 26499212 1096464496 101642918(1)9093 nnnnnnbnnnbnnnnnnnbnnTbnbn
6、，当且仅当，即时取“”，又中等号不可能同时取到以，所 2222264216361092163610964nnnnnnnnnn本题以等差数列与等比数列的基础知识入手设计，除了考查数列的基础知识外，重在考查解不等式、证明不等式的基本方法，本题第小题的解答比较独到，独到之处在于通过求不等式两边的最值【思维来证明如果本题证明时，不仔细分析，选择证明的话，问题虽然也能解决，但复杂程度可想启迪】而知 3422724.1212nnnp qpqanSaSapqpqSSS已知数列是等差数列，其前 项和为，求数列的通项公式；设、都是正整变式题：数，且，证明：111127346242121.1nnnadadaada
7、anddan设等差数列的公差是，依题意得，解得，所以数列的通项公式为解析：212222222222212.22224444220122 pnnnp qpqp qpqqpqann aaSnnSSSpqpqppqqpqpqSSSSSS证明：因为，所以则，因为，所以所以，14.22122nnnnnkkanSaSaSkS已知的前 项和为，且求证：数列是等比数列；是否存备选例题在正整数，使:成立 112:nnnaaa第小题通过代数变换确定数列与的关系，结合定义判断数列为等比数列；而第小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立分析的合理性 11111111112440120224212
8、121421122.:1212 nnnnnnnnnnnnnnnnSaSaSaSaaaaaaSaaqakS证明：由题意，两式相减，得，即，则，又，所以，假设存在正整数，满所以数列是首项为，公比为的足条件等比列，数由得解析11211*1*12422222422232112.32232(1)2NNkkkkkkkkkSSk又由，得，整理，得 ，即 故不存在这样的正因为整数，所以，这与，相矛盾，使不等式成立*.Nk本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件“”这是在解答数列问题中易忽视的一【思维启迪个陷阱】1minmax(1212)()nadqf xDxDf xMf xMf xMf xMn
9、因为等差数列与等比数列的综合题一般是建立在基础知识的交汇上，因此解答一般要抓住等差 比 数列的通项公式与前 项和公式，建立关于首项 与公差公比 的方程，求得相应的通项公式，再利用相关的知识解答所要求解的问题数列中不等式的恒成立问题主要有两种策略：若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；通过解关于 的不等式 31234数列中的不等式的证明问题的常用方法：比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；分析法与综合法，一般是利用分析法分析解题思路，再利用综合法证明；放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的；单调性法，主要是通过判断数列的单调性来进行证明“”4数列与不
10、等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到 否定 的结论，即不存在若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果 24()31.(201 .1)nn nk 若数列中的最大项是第 项，则江卷 浙112222(4)()(1)(3)()3322(4)()(1)(5)()331010102901101101010:4.1 kkkkkk kkkk kkkkkkkkkkk设最大项为第 项，则以或解有，所 11110(2)1,212.(2011)21.nnnn
11、nnnbaabnbaanananab 设，数列满足，求数列的通项公式；证明：对于一切正东卷数广整 1111111110011111.111111211.11:nnnnnnnnnnnnnbaabaannnnAAabb anabnAAAbbbbbbbb由，知，则令，当时，解11(1)111111.1 1.11 1 nnnnnnnnbbbbAbbbbAnnbbbabb当时，；当时，所以 1112211121111211211121.11111111()(222)22121.112221.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbabbbnbbbbbbbbbbbb bbbbbbbnbnbbabbbab当时，欲证，只需证因为，所以当时，综上所述，1.21nnab
