1、宣化县第一中学2012年高三模拟试卷数学（理科） 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页。第卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3第卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小
2、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1) 设为虚数单位，则=+10321iiii. （ ）A B C D（2）设集合Mx|x60，Nx|1x3，则MN()A1,2) B1,2 C(2,3 D2,3（3）已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）ABCD（4）设函数的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减 （B）在单调递减 （C）在单调递增（D）在单调递增（5）下列有关命题的说法正确的是 A命题“若，则”的否命题为：“若，则”；B命题“使得”的否定是：“ 均有”；C在中，“”是“”的充要条件；D“或”是“”的非充分非必要条件.（6）为了了解某校高
3、三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为() A64 B54 C48 D27 （7）若实数x，y满足不等式的取值范围是（ ）ABCD（8）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则 （）A B2C D4（9）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A 个 B 个 C 个 D 个（10）一个正三棱柱的主（正）视图是长为，宽为2的矩形，则它的外接球的表面积等于AB CD （
4、11） 设 ，则的值为A3BCD2（12）设偶函数对任意，都有，且当时，,则= A.10 B. C. D. 第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）已知直线，有下面四个命题： （1）；（2）；（3）；（4）其中正确的命题_。（14）与双曲线的焦距相同，且经过点的双曲线方程为_。（15）下表是某厂14月份用水量（单位：百吨）的一组数据，月份1234用水量4.5432.5由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则=_。（16）给出下
5、列命题：是幂函数； 函数的零点有2个；展开式的项数是6项；函数图象与轴围成的图形的面积是；若，且，则其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的编号） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分） 已知正数数列的前n项和为，且，数列满足 （）求数列的通项公式与的前n项和；（）设数列的前项和为，求证：.(18)(本小题满分12分)某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人听觉 视觉 视觉记忆能力偏低中等偏高超常听
6、觉记忆能力偏低0751中等183偏高201超常0211由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为（I）试确定、的值；（II）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；（III）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的数学期望（19）（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面为矩形，.（）当时，求证：；ABQDCP（）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值. （20）（本小题满分12分）已知函数（1）若函数在定义域内单
7、调递增，求的取值范围；（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（21）（本小题满分12分）已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点（）若，求点的轨迹方程；（）求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。BCEDA（22）选修41：几何证明选讲如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D求证：(23) 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：和直线，（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.(24) 选修45：不
8、等式选讲设函数(1)当时作出函数的图象；(2)若不等式的解集为，求值2012年一模数学评分标准与参考答案（理科）一、选择题：（1）A （2）A （3）B （4）A （5） C （6）B（7）C （8）B （9）A （10） C （11）B （12）B二、填空题：（13） （14） 或 （15）5.25 （16） 三、解答题: 17. 解： （1）易得 当， 7分两式相减得 18. 解： 【解析】（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件，则，解得2分所以答：的值为6，的值为23分（2）由
9、表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，所以答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为6分方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，所以答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为6分（3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3
10、位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，7分所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为，8分的可能取值为0，1，2，3，9分因为， ，所以的分布列为012310分所以答：随机变量的数学期望为12分19. 解： ()当时，底面为正方形，又因为,面2分又面3分yABQDCPxz() 因为两两垂直，分别以它们所在直线为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，则4分设，则要使，只要所以，即6分由此可知时，存在点使得当且仅当，即时，边上有且只有一个点，使得由此可知8分设面的法向量则即解得10分取平面的法向量则的大小与二面角的大小相等所以因
11、此二面角的余弦值为12分 20. 解： （1）依题意在时恒成立，即在恒成立.则在恒成立，即 当时，取最小值的取值范围是 6分（2）设则列表：极大值极小值极小值，极大值，又 8分方程在1，4上恰有两个不相等的实数根.则， 得 12分 21. 解（）若直线轴，则点为； 设直线，并设点的坐标分别是，由消去，得 ， 由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以 由及方程，得，即由于（否则，直线与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，代入到方程，得，整理，得（综上所述，点的轨迹方程为（ （）当轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，所以，； 由方程，得所以，所以 因为，所以，所以，所以综上所述，22. 证明如图，因为 是圆的切线， 所以，, 又因为是的平分线， 所以 从而 因为 , 所以 ,故. 因为 是圆的切线，所以由切割线定理知, , 而,所以23. 解： 1）圆O：，即圆O的直角坐标方程为：，即 3分直线，即则直线的直角坐标方程为：，即 6分（2）由得故直线与圆O公共点的一个极坐标为 10分24. 解： （）-2分函数如图所示-4分（）由题设知：如图，在同一坐标系中作出函数的图象（如图所示）又解集为. 由题设知，当时， 且即 -6分由得： -8分且，所以10分
