1、高二 数学（理科）（考试时间：120分钟 总分：150分）第卷（12题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分） 1为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）A48种B36种C24种D12种2某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，38，39现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（ ）0647 4373 8636 9647 3661 4698 6
2、371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179A36B16C11D143将十进制数19转化为二进制数为（ ）ABCD4某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）A10B11C12D1352021年是中国共产党建党100周年.某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱没有共产党就没有新中国这首歌.仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没
3、有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件6下列命题正确的有（ ）用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好；若一组数据8，12，x，11，9的平均数是10，则其方差是2；回归直线一定过样本点的中心()；若相关系数，则两个变量之间线性关系性强.A1个B2个C3个D4个7中国书法历史悠久、源远流长书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术我国书法大体可分为篆、
4、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（ ）ABCD8执行如图所示的程序框图，若输出的值为7，则框图中处可以填入（ ）ABCD9已知M是抛物线上一点F为其焦点，C为圆的圆心，则的最小值为（ ）A2B3C4D510某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早5分钟到校的概率为()ABCD11在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )ABCD12已知椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，
5、若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）ABCD第卷（10题：共90分）二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分)13如图，在正方体中，上底面中心为，则异面直线与所成角的余弦值为_ 14.位同学其中男生女生排成一排照相，男生不相邻的排法有_种15.已知为双曲线的左焦点，为上的点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为_16.验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录
6、验证码由0，1，2，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为_.三、解答题（包括6小题，共70分）17（10分）有四个编有1234的四个不同的盒子，有编有1234的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18（12分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点
7、生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有
8、1个口罩为一等品的概率.19（12分）如图，在直四棱柱中，分别为的中点，（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.20（12分）已知某种新型病毒的传染能力很强，给人们生产和生活带来很大的影响，所以创新研发疫苗成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上这种新型冠状病毒的疫苗的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）236101314销量（万盒）1122.544.5（1）根据上表中的数据，建立关于的线性回归方程（用分数表示）；（2）根据所求的回归方程，估计当研发费用为1600万元时，销售量为多少？参考公式：，.21（12分）在三棱柱中，侧面，（1）求证：；
9、（2）若E为棱的中点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小22（12分）已知椭圆：过点且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，分别为的左右顶点，为直线上的任意一点，直线，分别与相交于、两点，连接，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标.答案1B解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有不同的选取方法，2C利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至由一次读取，即47开始读取，在编号范围内的提取出来，可得，则选出来的第5个零件编号是.3C192=91，92=41，4
10、2=20，22=10，12=01，故19(10)=10011（2）.4C试题分析：甲组学生成绩的平均数是88，由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=887，m=3又乙组学生成绩的中位数是89，n=9，m+n=125B命题：“没有共产党就没有新中国”，即是“如果没有共产党，那么就没有新中国”；其逆否命题为“如果有新中国，那么就有共产党”；即根据“有新中国”能推出“有共产党”，所以“有共产党”是“有新中国”的必要条件.6C用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好；所以错误；若一组数据8，12，x，11，9的平均数是10，则，其方差是，所以正确；回归直线方程一定过样
11、本点的中心()，所以正确；因为相关系数越大，两个变量之间线性关系性越强，因此若相关系数，则两个变量之间线性关系性强.即正确7A从五种书体中任意选两种进行研习，共有种，则不选草书体共有种，则不选草书体的概率为.8C第一次循环：，不满足条件，；第二次循环：，不满足条件，；第三次循环：，不满足条件，；第四次循环：，不满足条件，；第五次循环：，不满足条件，；第六次循环：，不满足条件，；第七次循环：，满足条件，输出的值为7所以判断框中的条件可填写“”9B作垂直准线，垂足为，根据抛物线的定义有，当且仅当在同一直线上时取等号，此时取得最小值，最小值为3.10D设小明到校时间为，小方到校时间为可以看成平面中的
12、点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积则小明比小方至少早分钟到校事件，作出符合题意的图象则符合题意得区域为，联立，得，由，得则，由几何概率模型可知小明比小方至少早分钟到校的概率为.11D以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离为.12C由题可知，即， 在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得即，整理得易得面积又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，所以由已知，得，则，即在中，利用正弦定理知即，又，整理得两边同除以，则，解得或（舍去）13由题意，连接和，设正方体的棱长为，则，在正方体中，可得，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设
13、，在直角中，可得 在直角中，可得.14先将名女生排序，然后将名男生插入名女生所形成的空位中，所以，男生不相邻的排法种数为.1540由双曲线方程得，则虚轴长为6，线段过点为双曲线的右焦点，,的周长为16根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
14、当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.所以该验证码的中间数字是7的概率为.17（1）种；（2）；（3）种.（1）每个球都有4种方法，故有种（2）从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法.概率为：（3）每个盒子不空，共有，种18（1）（2）平均数为71，中位数为73.33（
15、3）（1）由，得.（2）平均数为，设中位数为，则，得.故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为，2个二等品为，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：，.共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.19（1）证明见解析；（2）.解：（1）连接，易知侧面为矩形，为的中点，为的中点.为的中点， 平面，平面平面（2）在平面中，过点作，易知平面，故以为原点，分
16、别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则， ，设平面的法向量为，由 即 ， 解得 令 得，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为.20（1）；（2）销售量为47769盒.（1），（2）当时，代入回归方程（万盒）（盒）当研发费用为16000000时，销售量为47769盒.21（1）证明见详解；（2）.解：（1）三角形中，利用余弦定理可得，即，故，又侧面，建立如图空间直角坐标系，设,.则，则，故，所以，即；（2）由，且相交于平面内，故平面，即是平面的法向量，由E为棱的中点知，因为与平面所成角的正弦值为，则，故，解得，则，,设平面法向量为，由得，即，设平面的法向量为，由得，即 ，则，又由图可知二面角是锐二面角，故二面角的大小为.22（1）；（2）证明见解析；定点（4，0）.（1）由题可知，解得：，椭圆的标准程为：；（2）由题知有斜率，设直线方程为，联立椭圆得，设，、三点共线，同理、三点共线，两式相除得：，化简得，即，解得或当时，直线的方程为，恒过点（1，0），当点不在轴时，故不满足，舍去；当时，直线的方程为，恒过点（4，0），符合题意，综上，直线恒过定点.