1、专题突破练17空间中的平行与空间角1.(2019山东潍坊三模,理18)如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G,H分别是AE,BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC平面ABC.(1)证明:GH平面ACD;(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.2.(2019新疆乌鲁木齐二模,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,DAB=60,PD=4,M为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF=3FB.(1)求证:EF平面ABCD;(2)若平面PDC底面ABCD,且PDDC,求平面PAD与平面PBC所成锐
2、二面角的余弦值.3.(2019湖北八校联考一,理18)如图所示,四棱锥P-ABCD中,面PAD面ABCD,PA=PD=2,四边形ABCD为等腰梯形,BCAD,BC=CD=12AD=1,E为PA的中点.(1)求证:EB平面PCD.(2)求平面PAD与平面PCD所成的二面角的正弦值.4.(2019安徽“江南十校”二模,理18)已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE为矩形,ADE与BCF为边长为22的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.(1)证明:平面ADE平面BCF;(2)求BD与平面BCF所成角的正弦值.5.(2019四川宜宾二模,理19)如图,四边形ABCD是菱形,EA平面ABCD
3、,EFAC,CF平面BDE,G是AB中点.(1)求证:EG平面BCF;(2)若AE=AB,BAD=60,求二面角A-BE-D的余弦值.6.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.7.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.8.(2019
4、河北衡水同卷联考,理18)如图,在多面体ABCDFE中,四边形ABCD是菱形,ABC=60,四边形ABEF是直角梯形,FAB=90,AFBE,AF=AB=2BE=2.(1)证明:CE平面ADF;(2)若平面ABCD平面ABEF,H为DF的中点,求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值.参考答案专题突破练17空间中的平行与空间角1.(1)证明 连接GO,OH,GOCD,OHAC,GO平面ACD,OH平面ACD,又GO交HO于点O,平面GOH平面ACD,GH平面ACD.(2)解 以C为原点,CB为x轴,CA为y轴,CD为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则C(0,0,0),B(2,0,0)
5、,A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2).平面BCE的法向量m=(0,1,0),设平面OCE的法向量n=(x0,y0,z0).CE=(2,0,2),CO=(1,1,0).nCE=0,nCO=0,则2x0+2z0=0,x0+y0=0.令x0=-1,n=(-1,1,1).二面角O-CE-B是锐二面角,记为,cos =|cos|=|mn|m|n|=113=33.2.(1)证明 取MD的中点N,连接EN,FN.E为AM的中点,ENAD.又M为PD的中点,N为MD的中点,PN=3ND.PF=3FB,FNBD.ENFN=N,ADBD=D,平面ENF平面ABCD,EF平面ENF,EF平面ABC
6、D.(2)解 平面PDC平面ABCD,PDDC,PD平面ABCD.设AB的中点为G,以D为坐标原点,DG为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,则B(3,1,0),C(0,2,0),P(0,0,4),则BC=(-3,1,0),CP=(0,-2,4),设平面PBC的法向量n=(x,y,z),则nBC=-3x+y=0,nCP=-2x+4z=0,取x=2,得n=(2,23,3),同理得平面PAD的法向量m=(3,3,0),设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为,则cos =|nm|n|m|=41919,平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为41919.3.(1)证明 取AD的中点O
7、,连接EO,OB.E为PA的中点,O为AD的中点,OEPD.又BCAD,BC=12AD,四边形BCDO是平行四边形,BOCD.OEPD,BOCD,OE和BO是平面EBO内的两条交线,平面EBO平面PCD.又BE平面PCD,BE平面PCD.(2)解 取BC的中点M,以OM,OD,OP方向为正方向建立如图所示的空间直角系O-xyz.则P(0,0,1),A(0,-1,0),D(0,1,0),C32,12,0,则平面PCD的一个法向量为n1=(1,0,0),PD=(0,1,-1),CD=-32,12,0.设平面PDC的一个法向量为n2=(x,y,z),则y-z=0,-32x+12y=0.不妨令x=1,
8、则y=3,z=1,n2=(1,3,3),|cos |=|cos|=17,则sin =427.4.(1)证明 取BC,DE中点分别为O,O1,连接OA,O1A,OF,O1F.由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=22,可知ABC,DEF为等腰直角三角形,故OABC,O1FDE,CDDE,CDDF,故CD平面DEF,平面BCDE平面DEF,所以O1F平面BCDE.同理OA平面BCDE,所以O1FOA,而O1F=OA,故四边形AOFO1为平行四边形,所以AO1OF,所以AO1平面BCF,又BCDE,故DE平面BCF,而AO1DE=O1,所以平面ADE平面BCF.(2
9、)解 以O为坐标原点,以过O且平行于AC的直线作为x轴,平行于AB的直线作为y轴,OO1为z轴建立空间直角坐标系如图.则有B(1,1,0),C(-1,-1,0),D(-1,-1,2),F(-1,1,2),故BD=(-2,-2,2),BC=(-2,-2,0),BF=(-2,0,2).设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),由BCn,BFn得-2x-2y=0,-2x+2z=0,取x=1得y=-1,z=1,故平面BCF的一个法向量为n=(1,-1,1).设BD与平面BCF所成角为,则sin =|cos|=-21-2(-1)+21323=13.故BD与平面BCF所成角的正弦值为13.5.(1)证明
10、设ACBD=O,连接OE,OF.四边形ABCD是菱形,EA平面ABCD,EFAC,CF平面BDE,OECF,EF=AO=CO,OF平面ABCD.设OA=a,OB=b,AE=c,以O为原点,OA,OB,OF所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则E(a,0,c),Ga2,b2,0,B(0,b,0),C(-a,0,0),F(0,0,c).FB=(0,b,-c),FC=(-a,0,-c),EG=-a2,-b2,-c,设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),则nFB=by-cz=0,nFC=-ax-cz=0,取z=b,得n=-bca,c,b,nEG=-a2-bca+b2c+(-c)b=0,
11、EG平面BCF.(2)解 设AE=AB=2,BAD=60,OB=1,OA=3,A(3,0,0),B(0,1,0),E(3,0,2),D(0,-1,0),BE=(3,-1,2),BA=(3,-1,0),BD=(0,-2,0).设平面ABE的法向量n=(x,y,z),则nBA=3x-y=0,nBE=3x-y+2z=0,取x=1,得n=(1,3,0),设平面BDE的法向量m=(x,y,z),则mBE=3x-y+2z=0,mBD=-2y=0,取x=2,得m=(2,0,-3),设二面角A-BE-D的平面角为,则cos =|mn|m|n|=247=77.二面角A-BE-D的余弦值为77.6.(1)证明 取
12、PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EFAD,EF=12AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=12AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解 由已知得BAAD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0).设M(x,y,z)(0x1),则BM=(x-1,y,z),PM=(x,y-1,z-3).因为BM与
13、底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin 45,|z|(x-1)2+y2+z2=22,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,设PM=PC,则x=,y=1,z=3-3.由解得x=1+22,y=1,z=-62(舍去),x=1-22,y=1,z=62,所以M1-22,1,62,从而AM=1-22,1,62.设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则mAM=0,mAB=0,即(2-2)x0+2y0+6z0=0,x0=0,所以可取m=(0,-6,2).于是cos=mn|m|n|=105.因此二面角M-AB-D的余弦值为105.7.(
14、1)证明 连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解 因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB的方向为x轴的正方向,|AP|为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,3,0),E0,32,12,AE=0,32,12.设B(m,0,0)(m0),则C(m,3,0),AC=(m,3,0),设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则n1AC=0,n1AE=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,可取n1=3m,-
15、1,3.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设|cos|=12,即33+4m2=12,解得m=32.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的体积V=131233212=38.8.(1)证明 (方法一)因为四边形ABCD是菱形,所以ADBC.又因为AFBE,AFAD=A,BCBE=B,所以平面ADF平面BCE.因为CE平面BCE,所以CE平面ADF.(方法二)取AF的中点M,连接DM,EM,如图.由题意知AM=BE且AMBE,所以四边形ABEM为平行四边形,即ME=AB且MEAB.又因为四边形ABCD是菱形,所以四边形DCEM为平行四边形,即有DMCE.
16、又DM平面ADF,CE平面ADF,所以CE平面ADF.(2)解 取CD的中点N,在菱形ABCD中,ABC=60,可得ANCD.因为平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,AF平面ABEF,AFAB,所以AF平面ABCD.以A为坐标原点,以AN,AB,AF的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.故A(0,0,0),C(3,1,0),D(3,-1,0),F(0,0,2),H32,-12,1,AH=32,-12,1,AC=(3,1,0).设平面ACH的一个法向量为n=(x,y,z),则有nAH=0,nAC=0,即32x-12y+z=0,3x+y=0.令x=1可得n=(1,-3,-3).易知平面ABEF的一个法向量为m=(1,0,0).设平面ACH与平面ABEF所成的锐二面角为,则cos =|mn|m|n|=77,即所求二面角的余弦值为77.
