1、初等函数第四讲 函数方程与函数迭代问题4.1 探求函数的解析式换元法 例1、解函数方程 （x0，x1）（美32届试题）例2、 设f（x）是定义在实数上的实值函数，且函数af（x-1）+bf（1-x）= cx其中a、b、c为实常数，求f（x）。赋值法 例3、已知定义在R上的函数满足f（x1+x2）+f（x1-x2）= 2f（x1）cos2x2+4asinx2；f（0）= f（）= 1；当x0， 时，|f（x）|2。试求：函数f（x）的解析式；常数a的取值范围。递推法 例4、已知函数f（x）是定义在自然数N上的函数，满足f（1）= 3/2，且对任意x，yN，有f（x+y）= f（1+）f（x）+（
2、1+）f（y）+x2y+xy+xy2，求f（x）。柯栖法 例5、设f（x）是定义在有理数集上的实值函数，且对任意有理数x，y有f（x+y）= f（x）+ f（y），试求f（x）。4.3 讨论函数的性质单调性穿脱法 例6、设函数定义在R上，当x 0时，f（x）1，且对任意m，nR，有f（m+n）=f（m）f（n），当mn时，f（m）f（n）。证明：f（0）= 1；证明：f（x）在R上是增函数；设A = （x，y）| f（x）f（y） 1时，F（x） 0.试求:求证:F(1/x) = - F(x);证明:F(x)在R+上为增函数;若F(3) = 1,且a为正实数时,解关于x的不等式F(x) F（）2。反穿脱法 引理：若f（x），g（x）互为反函数，且f（a+b）= f（a）f（b）则个g（x）g（y）= g（x）+g（y）。例8、已知函数f（x）满足：f（）= 1；函数的值域为-1，1；严格递减；f（xy）= f（x）+f（y）。试求：求证：不在f（x）的定义域内；求不等式f -1（x）f -1（）的解集。迭代中的“穿脱”技法 例9、对任意的正整数k，令f 1（k）定义为k的各位数字之和的平方。对于n2，令f（k）= f n（f n-1（k），求f 2003（11）。
