1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案B2若m，n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()n mnmn nA1 B2C3 D4解析正确，错误答案C3(2013广东卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则解析A选项中，m，n可能平行或异面B中m，n可能异面C中，不一定垂直，故选D.答案D4
2、(理)5.(文)(2014长沙模拟)如下图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，故AB平面ADC.平面ABC平面ADC.答案D4(文)(2013广东汕头一模)如图，P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PB
3、C、平面PAD的位置关系是()A平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B它们两两垂直C平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析DAAB，DAPA，ABPAA，DA平面PAB，又DA平面PAD，平面PAD平面PAB，同理可证平面PAB平面PBC.把四棱锥PABCD放在长方体中，并把平面PBC补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，CD1DAPB，CD1DPA，可知正确；由E，F分别是棱PC，PD的中点可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE与BF共面，故错答案三、解答题(本大题共
4、3小题，每小题10分，共30分)10如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)PA底面ABCD，CDPA.又CDAC，PAACA，故CD平面PAC，AE平面PAC.故CDAE.(2)PAABBC，ABC60，故PAAC.E是PC的中点，故AEPC.由(1)知CDAE，从而AE平面PCD，故AEPD.易知BAPD，故PD平面ABE.11(2013北京卷)如下图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：
5、()PA底面ABCD；()BE平面PAD；()平面BEF平面PCD.证明()因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.()因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.()因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形所以BECD，ADCD，由()知PA底面ABCD，所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF，又因为CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.所以平面BEF平
6、面PCD.12(理)(2014黑龙江一模)如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，PAD为等边三角形，平面PAD平面ABCD，且DAB60，AB2，E为AD的中点(1)求证：ADPB；(2)在棱AB上是否存在点F，使EF与平面PDC所成角的正弦值为？若存在，确定线段AF的长度；若不存在，请说明理由解(1)证明：连接PE，EB，因为平面PAD平面ABCD，PAD为等边三角形，E为AD的中点，所以PE平面ABCD，PEAD.因为四边形ABCD为菱形，且DAB60，E为AD的中点，所以BEAD.又PEBEE，所以AD面PBE，所以ADPB.(2)假设这样的点F存在以E为原点，分别以EA
7、，EB，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(2，0)，D(1,0,0)，P(0,0，)因为点F在棱AB上，设F(x，(1x)，0)，面PDC的法向量为u(a，b，c)，则uac0，uab0，令b1，则u(，1，1)，故|cosu，|，解得x，所以存在点F满足条件，AF1.12(文)(2013浙江卷)如下图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC2，ADCD，PA，ABC120.G为线段PC上的点()证明：BD平面APC；()若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；()若G满足PC平面BGD，求的值解()证明：设点O为AC，BD的交点由ABBC，ADCD，得BD是线段AC的中垂线所以O为AC的中点，BDAC.又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.所以BD平面APC.()连接OG.由()可知OD平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以OGD是DG与平面APC所成的角由题意得OGPA.在ABC中，AC2，所以OCAC.在直角OCD中，OD2.在直角OGD中，tanOGD.所以DG与平面APC所成的角的正切值为.()连接OG.因为PC平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG.在直角PAC中，得PC.所以GC.从而PG，所以.