1、核心素养测评七十五 离散型随机变量的均值与方差1.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,
2、请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.【解析】 (1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意,得P(X=60)=.即顾客所获的奖励额为60元的概率为,(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)=,即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=200.5+600.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50
3、,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)=20+60+100=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2+(60-60)2+(100-60)2=.对于方案2,即方案(20,20,40,
4、40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)=40+60+80=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2+(60-60)2+(80-60)2=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.2. 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的
5、年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率.(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?【解析】 (1)依题意,p1=P(40X120)=0.1.由二项分布得,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=0.94+40.930.1=0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y
6、(单位:万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.安装2台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,两台发电机运行,此时Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)= p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下:Y4 20010 000P0.20.8所以,E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840.安装3台发电机的情形.依题意
7、,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40X120时,三台发电机运行,此时Y=5 0003=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X120)=p3=0.1.由此得Y的分布列如下:Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620.综上所述,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.【变式备选】1.某学校在学校内招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如图茎叶图(单位:cm),若身高在175 cm以上
8、(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望.【解析】(1)根据茎叶图,有高个子12人,非高个子18人,所以利用分层抽样的方法抽取的高个子的人数为5=2人,抽取的非高个子人数为5=3人,设至少有一人是高个子为事件A,则P(A)=,即至少有一人是高个子的概率为
9、.(2)依题意知,“女高个子”的人数为X,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.随机变量X的分布列是:X0123P数学期望E(X)=0+1+2+3=1.2.贫困户杨老汉是扶贫政策受益人之一.据了解,为了帮助杨老汉早日脱贫,负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为,扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为,帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为.(1)求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率.(2)设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X,求X的分布列.
10、(3)杨老汉对三位帮扶人员非常满意,他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访.”请问:他说的是真的吗?【解析】(1)设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A.P(A)=,所以帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=+=,P(X=2)=+=;P(X=3)=,随机变量X的分布列为X0123P(3)E(X)=+=,所以E(X)1,所以杨老汉说的是真的.3.甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2020年自主招生,高考前自主招生的程序为面试和文化测试,只有面试通过后才能参加文化测试,文化测试合格者即获得自主招生入选资
11、格.因为甲、乙、丙三人各有优势,甲、乙、丙三人面试通过的概率分别为0.5,0.6,0.4 ;面试通过后,甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲、乙、丙三人中只有一人通过面试的概率.(2)求甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率.(3)记甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为,求随机变量的分布列及期望.【解析】(1)分别记甲、乙、丙面试通过为事件A1,A2,A3,则甲、乙、丙三人中只有一人通过面试的概率P1=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.50.40.6+0.50.60.6+0.50.40.4=0.38.(2)甲、乙、丙三人各自获得自主招生
12、入选资格分别记为事件A,B,C,则P(A)=0.50.6=0.3,P(B)=0.60.5=0.3,P(C)=0.40.75=0.3.(3)甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数取值为0,1,2,3,分别记甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格为事件A,B,C,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3,所以P(=0)=(1-0.3)3=0.343,P(=1)=0.3(1-0.3)2=0.441,P(=2)=0.32(1-0.3)=0.189,P(=3)=0.33=0.027,所以随机变量的分布列为0123P0.3430.4410.1890.027于是E()=00.343+10.441+10.189+30.027=0.9.