1、A级基础通关一、选择题1(2019北京卷)下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是()AyxBy2xCylogx Dy解析：易知y2x与ylogx，在(0，)上是减函数，由幂函数性质，y在(0，)上递减，yx在(0，)上递增答案：A2已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时，f(x)2x2x4，则f(x)的零点个数是()A2B3C4D5解析：由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)0.由于f f(2)0，而函数f(x)在(0，)上单调递增，故当x0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，当x0时，也有1个零点故一共有3个零点答案：B3(2019山东省实验中学联考)设实数a、b、c满足a
2、2log23，ba，cln a，则a、b、c的大小关系为()Acab BcbaCacb Dbca解析：因为a2log232log231.所以cln aln 0，b31.因此bac.答案：A4若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()解析：由于ya|x|的值域为y|y1，所以a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象大致为选项B.答案：B5(2019衡水质检)若函数f(x)|logax|3x(a0，a1)的两个零点是m，n，则()Amn1 Bmn1Cmn1 D无法判断解析：令f(x)0
3、，得|logax|，则y|logax|与y的图象有2个交点，不妨设a1，mn，作出两函数的图象(如图)所以，即logamlogan，所以loga(mn)0，则mn1.答案：C6(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0ab解析：由alog0.20.3得log0.30.2，由blog20.3得log0.32.所以log0.30.2log0.32log0.30.4，则01，即01.又a0，b0，知ab0，所以abab0.答案：B二、填空题7(2018浙江卷改编)已知R，函数f(x)若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_解
4、析：令f(x)0，当x时，x4.当x时，x24x30，则x1或x3.若函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，13或4.答案：(1，3(4，)8将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值为_解析：因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数yf(t)aent满足f(5)ae5na，可得nln ，所以f(t)a，因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，f(k)aa，即，所以k10，由题可知mk55.答案：59已知函数f(x)若f(x1)f(x2)f(x3)(
5、x1，x2，x3互不相等)，且x1x2x3的取值范围为(1，8)，则实数m的值为_解析：作出f(x)的图象，如图所示，可令x1x2x3，则由图知点(x1，0)，(x2，0)关于直线x对称，所以x1x21.又因为1x1x1x38，所以2x39.结合图象可知A点坐标为(9，3)，代入函数解析式得3log2(9m)，解得m1.答案：1三、解答题10经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(单位：升)与速度x(单位：千米/时)(50x120)的关系可近似表示为：y(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速
6、度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x50，80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，当x65时，y有最小值6759.当x80，120时，函数单调递减，故当x120时，y有最小值10.因为910，故当x65时每小时耗油量最低(2)设总耗油量为l，由题意可知ly.当x50，80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值16.当x80，120时，ly2为减函数，当x120时，l取得最小值10.因为1016，所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少B级能力提升11已知函数f(x)若函数yf(x)k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()A(2，2) B(2，1)C(0，
7、2) D(1，3)解析：当x0时，f(x)x33x，则f(x)3x23，令f(x)0，所以x1(舍去正根)，故f(x)在(，1)上单调递增，在(1，0)上单调递减，又f(x)ln(x1)在x0上单调递增则函数f(x)图象如图所示f(x)极大值f(1)132，且f(0)0.故当k(0，2)时，yf(x)k有三个不同零点答案：C12(2018江苏卷节选)记f(x)，g(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数若存在x0R，满足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”(1)证明：函数f(x)x与g(x)x22x2不存在“S点”；(2)若函数f(x)ax21与g(x)ln x存在“S点”，求实数a的值(1)证明：函数f(x)x，g(x)x22x2，则f(x)1，g(x)2x2.由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程组无解，因此，f(x)与g(x)不存在“S点”(2)解：函数f(x)ax21，g(x)ln x，则f(x)2ax，g(x).设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得即(*)得ln x0，即x0e，则a.当a时，x0e满足方程组(*)，即x0为f(x)与g(x)的“S点”因此，a的值为.