1、第2课时圆锥曲线的定义、标准方程与简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F1,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,O为坐标原点,若点D是线段PF1的中点,则F1OD的周长为()A.6B.5C.12D.10解析椭圆方程为x29+y25=1,则a=3,b=5,c=2.如右图,设右焦点为F2,连接PF2.由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6.在PF1F2中,D,O分别是PF1,F1F2的中点,故|OD|=12|PF2|,所以F1OD的周长为|F1D|+|DO|+|F1O|=12(|PF1|+|PF2|)+c=3+2=5.答案B2.若双曲线x2a2-y2b2=
2、1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53解析双曲线的渐近线方程为y=bax,且过点(3,-4),-4=-ba3,ba=43.离心率e=1+ba2=1+432=53,故选D.答案D3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点P是C上一点,O为坐标原点,若POF的面积为2,则|PF|=()A.52B.3C.72D.4解析由已知得F(2,0),设P(x0,y0),则122|y0|=2,所以|y0|=2,于是x0=12,故|PF|=x0+p2=52.答案A4.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶
3、点,P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P-c,b2a,设l:x=my-a,M-c,a-cm,E0,am.直线BM:y=-a-cm(a+c)(x-a).又直线BM经过OE的中点,(a-c)a(a+c)m=a2m,解得a=3c.e=ca=13,故选A.答案A5.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B,C,且|BC|=|C
4、F2|,则双曲线的渐近线方程为()A.y=(3+1)xB.y=3xC.y=(3-1)xD.y=x解析因为过点F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B,C,且|BC|=|CF2|,所以|BF1|=2a.不妨设切点为T,B(x,y),y0,则利用三角形相似可得ya=c+xb=2ac,所以x=2ab-c2c,y=2a2c.所以B2ab-c2c,2a2c,代入双曲线方程,化简可得b=(3+1)a,所以双曲线的渐近线方程为y=(3+1)x.答案A6.已知抛物线y=ax2的准线方程为y=-12,则实数a=.解析抛物线方程化为x2=1ay,依题意有14a=12,所以a=12.答案127.
5、已知F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若双曲线C上存在一点M满足|MF1|MF2|F1F2|=12135,则该双曲线的离心率为.解析设|MF1|=12k,|MF2|=13k,|F1F2|=5k,双曲线的离心率e=2c2a=|F1F2|MF2|-|MF1|=5k13k-12k=5.答案58.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为.解析点(-2,-1)在抛物线的准线上,可得p=4,于是双曲线的左顶点为(-2,0),即a=2,点(-2,-1)在双曲线的渐近线
6、上,则得双曲线的渐近线方程为y=12x.由双曲线的性质,可得b=1,所以c=5,则焦距为2c=25.答案259.已知双曲线C的一个焦点与抛物线C1:y2=-16x的焦点重合,且其离心率为2.(1)求双曲线C的方程;(2)求双曲线C的渐近线与抛物线C1的准线所围成三角形的面积.解(1)抛物线C1:y2=-16x的焦点坐标为(-4,0),因此可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则依题意有c=4,ca=2,解得a2=4,b2=12.故双曲线C的方程为x24-y212=1.(2)抛物线C1的准线方程为x=4,双曲线C的渐近线方程为y=3x,于是双曲线C的渐近线与抛物线C1的准线的两个
7、交点为(4,43),(4,-43),所围成三角形的面积S=12834=163.10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,右焦点是F,过点F作直线与长轴垂直,与椭圆交于P,Q两点.(1)若PBF=60,求椭圆的离心率;(2)求证:APB一定为钝角.(1)解不妨设点P在第一象限,则P点的横坐标为c,由于点P在椭圆上,故可求得点P的纵坐标为b2a,即Pc,b2a.于是在RtBFP中,tanPBF=|PF|FB|=b2aa-c=a+ca=1+e=tan60=3,所以e=3-1.(2)证明因为Pc,b2a,A(-a,0),B(a,0),所以PA=-a-c,-b2a,PB=a
8、-c,-b2a,则PAPB=c2-a2+b4a2=b4a2-b2=b4-a2b2a2=-b2c2a21)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.mn,且e1e21B.mn,且e1e21C.m1D.mn,且e1e2n.e1=1-1m2,e2=1+1n2,e1e2=1-1m21+1n2=1+1n2-1m2-1m2n2=1+m2-n2-1m2n2=1+1m2n21.故选A.答案A2.已知点P(x0,y0)在椭圆x212+y23=1上,其左、右焦点分别是F1,F2,若F1PF2为钝角,则x0的取值范围是()A.-3x03B.x022C.x03D
9、.-22x022解析由已知得F1(-3,0),F2(3,0),所以PF1=(-3-x0,-y0),PF2=(3-x0,-y0),则PF1PF2=x02+y02-9,而y02=3-14x02,所以PF1PF2=34x02-6.又F1PF2为钝角,所以34x02-60,解得-22x00,b0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,且|PF1|=2|PF2|.若PF1F2为等腰三角形,则该双曲线的离心率为.解析P为双曲线右支上的一点,则由双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a,由|PF1|=2|PF2|,则|PF1|=4a,|PF2|=2a.由PF1F2为等腰三角形,则|PF1|=|F1F2
10、|或|F1F2|=|PF2|,即有4a=2c或2c=2a,即有e=ca=2(e=1舍去).答案25.已知抛物线C:x2=2py(p0),O为坐标原点,若A,B是以点M(0,10)为圆心,|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点,且ABO为等边三角形,则p的值等于.解析由抛物线的性质及题意可知,A,B两点关于y轴对称,所以可设A(x1,y1),B(-x1,y1),则x12+y12=x12+(y1-10)2=4x12,解得x12=253,y1=5,又因为点A在抛物线上,所以253=2p5,解得p=56.答案566.已知椭圆C:x24+y2m=1(m0).(1)若m=2,求椭圆C的离心率及短轴长
11、;(2)如存在过点P(-1,0),且与椭圆C交于A,B两点的直线l,使得以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点,求m的取值范围.解(1)因为m=2,所以x24+y22=1,c=4-2=2.所以e=22,b=2.所以椭圆C的离心率为22,短轴长为22.(2)当直线l的斜率存在时,由题意可设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).由x24+y2m=1,y=k(x+1),得(m+4k2)x2+8k2x+4k2-4m=0.所以0,x1+x2=-8k2m+4k2,x1x2=4k2-4mm+4k2.因为以线段AB为直径的圆恰好过原点,所以OAOB.所以x1x2+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0.所以(1+k2)4k2-4mm+4k2+k2-8k2m+4k2+k2=0.即k2=4m4-3m.由k2=4m4-3m0,m0,得0m43.当直线l的斜率不存在时,因为以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点,所以A(-1,1).所以14+1m=1,即m=43.综上所述,m的取值范围是0m43.
