1、3.4基本不等式：材拓展1一个常用的基本不等式链设a0，b0，则有：mina，b maxa，b，当且仅当ab时，所有等号成立若ab0，则有：b 0，则2.3利用基本不等式求最值的法则基本不等式 (a，b为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab2，当且仅当ab时，等号成立(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即ab2，当且仅当ab时，等号成立注意：利用基本不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：两个正数；两个正数的积或和为定值；取最值时，等号能成立概括为“一正、二定(值)、三相等”4函数f(x)x (k0)的单调性在求最值中的应用
2、有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)x (k0)的单调性加以解决利用函数单调性的定义可以证明函数f(x)x (k0)在(0，上单调递减，在，)上单调递增因为函数f(x)x (k0)是奇函数，所以f(x)x (k0)在(，上为增函数，在，0)上为减函数函数f(x)x (k0)在定义域上的单调性如右图所示例如：求函数f(x)sin2x，x(0，)的最小值解令tsin2x，x(0，)，g(t)t.t(0,1，易知g(t)在(0,1上为单调递减函数，所以当t1时，g(t)min6.即sin x1，x时，f(x)min6.法突破一、利用基本不等式求最值方法链
3、接：基本不等式是求函数最值的有利工具，在使用基本不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察例1求函数y的最大值解设t，从而xt22(t0)，则y.当t0时，y0；当t0时，y.当且仅当2t，即t时等号成立即当x时，ymax.二、利用基本不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立a0得32x(k1)3x20，解得k13x，而3x2，k12，k2，求证：loga(a1)loga(a1)2，所以loga(a1)0，loga(a1)0
4、.又loga(a1)loga(a1)，所以loga(a21)logaa21.所以loga(a1)loga(a1)1.四、基本不等式的实际应用方法链接：应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围例4某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用(总费用建筑费用征地费用)解设建
5、造这幢办公楼的楼层数为n，总费用为y元，当n1时，y2.5A2 388445A6 415A(元)，当n2时，y2.52 388445A3 430A(元)，当n3时，y2.52 388445(44530)(44560)44530(n2)6 00015nA400A2A400A1 000A(元)(当且仅当n20时取等号)即n20时，有最小值1 000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A元区突破1忽略应用基本不等式的前提条件而致错例1求f(x)2log2 x(0x1)的最值错解f(x)2log2 x2222.f(x)min22.这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来
6、点拨0x1，log2 x0，0，不能直接运用公式正解0x0，0.(log2 x)2 2.log2x2.f(x)2log2 x22.当且仅当log2 x时，即x2时取等号f(x)max22.2忽略等号成立的条件而致错例2已知m2n2a，x2y2b (a、b为大于0的常数且ab)，求mxny的最大值错解mx，ny，mxny.当且仅当mx，ny时取“”点拨如果mx，ny，则会有m2n2x2y2ab，这与条件“ab”矛盾，如果mx，ny中有一个不成立，则“”取不到，则不满足使用基本不等式的条件正解利用三角代换可避免上述问题m2n2a，设 (0,2)，x2y2b，设(0,2)mxnycos cos si
7、n sin (cos cos sin sin )cos()(mxny)max，当且仅当cos()1，时取“”3两次利用基本不等式而致错例3已知x0，y0，且x2y1，求的最小值错解因为x0，y0，且x2y1，(x2y)224.所以的最小值为4.点拨上述解答是错误的，错因是连续两次使用基本不等式解题忽视了等号成立的一致性正解因为x0，y0，且x2y1，所以123232.当且仅当且x2y1，即x1，y1时，取得等号所以的最小值为32.题多解例若正数a，b满足abab3，求ab的取值范围. 解方法一把代数式ab转化为a(或b)的函数abab3，bb0，a1.ab(a1)5a1，a10，(a1)24.
8、ab9，当且仅当a1，即a3，b3时，取“”方法二利用基本不等式ab2，把ab转化为ab，再求ab的范围ab2，abab323.ab230，(3)(1)0.3，ab9，从以上过程可以看出：当且仅当ab3时，取“”方法三把a，b视为一元二次方程x2(3ab)xab0的两个根，那么该方程应有两个正根所以有：其中由(3ab)24aba2b210ab9(ab9)(ab1)0，解得ab9或ab1.x1x2ab30，ab9.又abab3，ab6，当且仅当ab3时取“”题赏析1(2011重庆)已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5解析ab2，1.()()()2(当且仅当，即b2a时，“”成立)，故y的最小值为.答案C2(2009天津)设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4 C1 D.解析由题意知3a3b3，即3ab3，所以ab1.因为a0，b0，所以(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立答案B赏析本题考查了等比中项的概念、基本不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到
