1、第八讲曲线与方程(理)知识梳理双基自测知识点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做_曲线_的方程；这条曲线叫做_方程_的曲线知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤1“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要条件2求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形
2、”相互结合，在解决问题时又需要相互转化题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2()(3)ykx与xy表示同一直线()(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()题组二走进教材2(必修2P37T3)已知点F，直线l：x，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(D)A双曲线B椭圆C圆D抛物线解析由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线3(选修21P37T1改编)已知A(2,0
3、)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足APOBPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是_x2y24x0(y0)_解析设P(x，y)，APOBPO，2，即|PA|2|PB|，(x2)2y24(x1)2y2，(y0)化简整理得P的轨迹方程为x2y24x0(y0)题组三走向高考4(2020山东改编)已知曲线C：mx2ny21则下列结论错误的是(B)A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为yxD若m0，n0，则C是两条直线解析A若mn0，则，则根据椭圆定义，知1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B若mn0，则方程为x2y2，表示
4、半径为的圆，故B错误；C若m0，n0，则方程为1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为yx，若m0，n0，则方程为1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为yx，故C正确；D当m0，n0时，则方程为y表示两条直线，故D正确；故选B5(2019北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y就是其中之一(如图)给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是(C)ABCD解析将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x0时，代入得y21，
5、y1，即曲线经过(0,1)，(0，1)；当x0时，方程变为y2xyx210，所以x24(x21)0，解得x，所以x只能取整数1，当x1时，y2y0，解得y0或y1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)，(1,1)，故曲线一共经过6个整点，故正确当x0时，由x2y21xy得x2y21xy，(当xy时取等)，x2y22，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；故正确在x轴上图形面积大于矩形面积122，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积211，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213，故错误故选C考点突
6、破互动探究考点一曲线与方程自主练透例1 关于x，y的方程1，对应的曲线可能是焦点在x轴上的椭圆焦点在y轴上的椭圆焦点在x轴上的双曲线圆其中正确结论个数为(D)A1B2C3D4解析由题，若m223m22，解得m，3m220，解得m或m，则当x时，曲线是焦点在x轴上的椭圆，正确；若3m22m22，解得m或m，此时曲线是焦点在y轴上的椭圆，正确；若3m220，解得m，此时曲线是焦点在x轴上的双曲线，正确；当m22时，方程为x2y24，所以正确故选D变式训练1(2021山东青岛一中期末改编)已知点F(1,0)为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为y24xx24y11其中正确结论个数为(B)A1B2C3D
7、4解析y24x的焦点坐标为(1,0)；x24y的焦点坐标为(0,1)；当时，sin2cos2，1表示圆；双曲线1的焦点在x轴上，且c1，其焦点坐标为(1,0)，(1,0)，故选B考点二定义法求轨迹方程自主练透例2 (1)(2021长春模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(B)A圆B椭圆C双曲线D抛物线(2)(2021福州模拟)已知圆M：(x)2y236，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足2，0，则点G的轨迹方程是(A)A1B1C1D1(3)(2021江苏南京二十九中调研)已知两圆C1：(x3
8、)2y21，C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(D)Ax21By21Cx21(x1)Dx21(x1)解析(1)由题意知，|EA|EO|EB|EO|r(r为圆的半径)且r|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B(2)由2，0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，|GN|GP|，|GM|GN|MP|62，点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a6,2c2，b24，点G的轨迹方程为1，故选A(3)设动圆M的半径为r，则|C1M|r1，|C2M|3r，|C2M|C1M|26|C1C2|动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线左支，
9、且c3，a1，b2c2a28，其轨迹方程为x21(x1)故选D引申1本例(3)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_1(x2)_引申2本例(3)中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为_1(x2)_引申3本例(3)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为_x21(x1)_引申4本例3中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_1_名师点拨定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程(2)利用定义法求
10、轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制变式训练2(1)动圆M经过双曲线x21的左焦点且与直线x2相切，则圆心M的轨迹方程是(B)Ay28xBy28xCy24xDy24x(2)(2021湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是_直线圆椭圆抛物线解析(1)双曲线x21的左焦点为F(2,0)，由题意可知点M的轨迹是以F为焦点、原点为顶点、对称轴为x轴的抛物线，故其方程为y28x故选B(2)如图两根电杆AB，CD，当|AB|CD|时，BPA
11、DPC，|PA|PC|，P的轨迹是AC的中垂线，当|AB|CD|(1，0)时，由BPADPC知RtABPRtCDP，以AC所在直线为x轴，线段AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，记A(1,0)，C(1,0)，P(x，y)，则，即2y22，轨迹为圆，故答案为考点三,直接法求轨迹方程师生共研例3 (1)(2021四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C过点A(0,2)且与直线y2相切，则圆心C的轨迹方程为(B)Ax24yBx28yCx24yDx28y(2)(2021山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8求动圆圆心的轨迹C的方程；已知点B(1,0)，设不垂直于
12、x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点解析(1)设圆心C(x，y)，由题意知|y2|，化简得x28y，故选B(2)设动圆圆心P(x，y)，线段MN的中点为E，则|PA|2|PE|242，即(x4)2y2x216，化简得y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x设直线l的方程为ykxb，联立得k2x22kbxb28x，k2x2(82kb)xb20(其中0)，设P(x1，kx1b)，Q(x2，kx2b)，则x1x2，x1x2，若x轴是PBQ的角平分线，则kPBkQB0，即kb故直线l的方程为yk(x1)，直线l过定点(1,0)名师点拨直接法求曲线方程
13、的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性(4)运用直接法应注意的问题在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略变式训练3(1)已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则动点P的轨迹是(B)A直线B圆C椭圆D双曲线(2)(2021湖南湘
14、潭模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点Q(1,0)，直线l：x2若动点P在直线l上的射影为R，且|，设点P的轨迹为C求C的轨迹方程；设直线yxn与曲线C相交于A、B两点，试探究曲线C上是否存在点M，使得四边形MAOB为平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)设P(x，y)，则2，化简得x2y24x0，即(x2)2y24，其表示以(2,0)为圆心，4为半径的圆，故选B(2)设P(x，y)，由|，得|2x|，平方化简得C的轨迹方程为y21设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，联立，得x22(xn)220，即3x24nx2n220，所以x1x2，y1y2
15、x1x22n假设存在点M使得四边形MAOB为平行四边形，则，所以(x3，y3)(x1，y1)(x2，y2)，所以x3x1x2，y3y1y2由点M在曲线C上得y1，代入得1，解得n2，n所以当n时，曲线C上存在点M使得四边形MAOB为平行四边形，此时点M的坐标为或者M，当n，曲线C上不存在点M使得四边形MAOB为平行四边形考点四,代入法(相关点法)求轨迹方程师生共研例4(2021河南新乡模拟)在直角坐标系xOy中，点M(2,0)，N是曲线xy22上的任意一点，动点C满足0(1)求点C的轨迹方程；(2)经过点P(1,0)的动直线l与点C的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在定点D(异于点P)，使得
16、ADPBDP？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)设C(x，y)，N(x0，y0)，则(x2，y)，(xx0，yy0)，(2xx02,2yy0)又0，则即因为点N为曲线xy22上的任意一点，所以x0y2，所以2x2(2y)22，整理得y22x，故点C的轨迹方程为y22x(2)设存在点D(t,0)，使得ADPBDP，所以kDAkDB0由题易知，直线l的倾斜角不可能为0，故设直线l的方程为xmy1，将xmy1代入y22x，得y22my20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22m，y1y22因为kDAkDB0，所以2my1y2(1t)(y1y2)0，即4m2m(1t)0，
17、所以t1故存在点D(1,0)，使得ADPBDP名师点拨代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：某个动点P在已知方程的曲线上移动；另一个动点M随P的变化而变化；在变化过程中P和M满足一定的规律(2)代入法(相关点法)的基本步骤设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程；检验：注意检验所求方程是否符合题意变式训练4(2021河北石家庄模拟)已知点Q在椭圆C：1上，点P满足()(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点
18、P的轨迹为(D)A圆B抛物线C双曲线D椭圆解析设P(x，y)，Q(x0，y0)，椭圆C的左焦点F1(2,0)，由题意知又1，1，故选D考点五,参数法求轨迹方程师生共研例5(2021河北衡水中学调研)已知圆C1：x2y22，圆C2：x2y24，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点E作直线l交曲线C与点M，N，射线OHl于点H，且交曲线C于点Q问：的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由分析显然点P(x，y)的变动由AOD的大小(或kOD)决定
19、，故可通过(或kOD)建立x，y间的关系，即点P的轨迹方程解析(1)解法一：如图设BOE，则B(cos ，sin )，D(2cos ，2sin )，所以xP2cos ，yPsin 所以动点P的轨迹C的方程为1解法二：当射线OD的斜率存在时，设斜率为k，OD方程为ykx，由得y，同理得x，所以x2y4即有动点P的轨迹C的方程为1当射线OD的斜率不存在时，点(0，)也满足(2)由(1)可知E为C的焦点，设直线l的方程为xmy(斜率不为0时)且设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，得(m22)y22my20，所以，所以，又射线OQ方程为ymx，代入椭圆C的方程得x22(mx)24，即x，y，所
20、以，又当直线l的斜率为0时，也符合条件综上，为定值，且为名师点拨(1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关变式训练5若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为_xy10_解析当直线l1的斜率存在时，l2的斜率
21、也存在，设直线l1的方程是y1k(x1)，则直线l2的方程是y1(x1)，所以直线l1与x轴的交点为A，l2与y轴的交点为B，设AB的中点M的坐标为(x，y)，则有两式相加消去k，得xy1，即xy10(x)，所以AB中点M的轨迹方程为xy10当直线l1(或l2)的斜率不存在时，点M的坐标为，此点在直线xy10上综上，AB中点M的轨迹方程为xy10另解：由题意易知|MP|MO|，M的轨迹为线段OP的中垂线，其方程为y，即xy10名师讲坛素养提升高考中的轨迹问题例6(2019课标)已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线C(1)求C的方程，并
22、说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值解题思路(1)(2)解析(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)，由得x记u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)由，得(2k2)x22uk2xk2u280设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG从而直线PG的斜率为所以PQPG，即PQG是直角三角形由得|
23、PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号，因为S在2，)单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为因此，PQG面积的最大值为解题关键利用方程思想得出点P、Q的坐标，进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键；正确利用基本不等式及函数单调性是求解PQG面积最值的关键变式训练6(2020新课标)在平面内，A，B是两个定点C是动点，若1，则点C的轨迹为(A)A圆B椭圆C抛物线D直线解析不妨以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，设C(x，y)，A(c,0)，B(c,0)，c0，则(xc，y)，(xc，y)，由1，得(xc)(xc)yy1，即x2y2c210，点C的轨迹为圆故选A