1、第28讲平面向量的数量积【课程要求】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题对应学生用书p78【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)若ab0，则
2、a和b的夹角为锐角；若ab0，且ab(0)，解得m8且m2.答案 (，2)(2，8)【知识要点】1两向量的夹角已知非零向量a，b，作a，b，则AOB叫做a与b的夹角a与b的夹角的取值范围是_0，_当a与b同向时，它们的夹角为_0_；当a与b反向时，它们的夹角为_；当夹角为90时，我们说a与b垂直，记作ab.2向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把_|a|b|cos_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0a0.3向量数量积的几何意义向量的投影：|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，_
3、它是负值_；当为直角时，它是零ab的几何意义：数量积ab等于_a的长度|a|_与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积4平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.结论几何表示坐标表示模|a|a|_数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|5.平面向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(R)(3)(ab)cacbc.对应学生用书p79平面向量的数量积的运算例1(1
4、)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_解析 因为ab(e12e2)(ke1e2)ke(12k)(e1e2)2e，且|e1|e2|1，e1e2，所以k(12k)20，解得k.答案 (2)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则等于()A20 B15 C9 D6解析，(43)(43)(16292)(1662942)9，故选C.答案 C(3)正方形ABCD边长为2，中心为O，直线l经过中心O，交AB于M，交CD于N, P为平面上一点，且2(1)，则的最小值是()A B1 C D2解析 由题意可得：(4242)22，设2
5、，则(1)，(1)1，Q，B，C三点共线当MN与BD重合时， 最大，且max2，据此：()min2.答案 C小结向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题1已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A1 B C. D1解析 ab12(1)x2x1，x1.答案 D2已知向量与的夹角为120，且|3，|2，若，且，则实数
6、的值为_解析 向量与的夹角为120，且|3，|2，|cos 120233.，且，0，即|2|20，33490，解得.答案 平面向量的夹角与垂直问题例2已知a(1，2)，b(3，4)，cab(R)(1)为何值时，|c|最小？此时c与b的位置关系如何？(2)为何值时，c与a的夹角最小？ 此时c与a的位置关系如何？解析 (1)c(13，24)，|c|2(13)2(24)2510252254，当时， |c|最小，此时c，bc(3，4)0，bc，当时， |c|最小，此时bc.(2)设c与a的夹角为，则cos ，要c与a的夹角最小，则cos 最大，0，故cos 的最大值为1，此时0，cos 1，1，解之得
7、0，c(1，2)0时， c与a的夹角最小， 此时c与a平行小结求平面向量的夹角的方法定义法：cos ，注意的取值范围为0，坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解3平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于()A2 B1 C1 D2解析 因为a(1，2)，b(4，2)，所以cmab(m，2m)(4，2)(m4，2m2)根据题意可得，所以，解得m2.答案 D平面向量的模及其应用例3(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大
8、值是()A1 B2 C. D.解析 由(ac)(bc)0，得ab(ab)cc20，因为a与b垂直，所以ab0，进而可得c2(ab)c，即|c|2|ab|c|cos ，又由a、b为互相垂直的两个单位向量可知|ab|.所以|c|cos ，|c|，即|c|的最大值为.答案 C(2)已知|a|4，e为单位向量，当a，e的夹角为时， ae在ae上的投影为()A5 B.C. D.解析 由题设，(ae)(ae)421215，所以.答案 D小结解答本题的关键是准确理解向量在另一个向量上的投影的概念求解时先求两个向量ae和ae的模及数量积的值，然后再运用向量的射影的概念，运用公式进行计算，从而使得问题获解例4在
9、平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)(1)求向量，夹角的大小；(2)若动点D满足|1，求|的最大值解析 (1)因为A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，所以(4，0)，(3，)，所以cos，所以向量，的夹角为30.(2)因为C的坐标为(3，0)且|CD|1，所以动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆，则D的坐标满足参数方程(为参数且0，2)，所以设D的坐标为(3cos ，sin )(0，2)，则|.因为2cos sin 的最大值为，所以|的最大值为1.小结求解平面向量模的方法写出有关向量的坐标，利用公式|a|即可当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|.
10、4(2017全国卷理)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_解析 法一：|a2b|2.法二：(数形结合法)由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.答案 2对应学生用书p801(2019全国卷理)已知非零向量a，b满足2，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.解析 由(ab)b知abb20，又|a|2|b|，所以2|b|2cos |b|20，cos ，所以，故选B.答案 B2(2019全国卷理)已知(2，3)，(3，t)，|1，则()A3 B2 C2 D3解析 由(1，t3)，
11、1，得t3，则(1，0)，(2，3)(1，0)21302.故选C.答案 C3(2017北京卷理)已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2，0)，O为原点，则的最大值为_解析 法一：由题意知，(2，0)，令P(cos ，sin )，则(cos 2，sin )，(2，0)(cos 2，sin )2cos 46，当且仅当cos 1，即0，P(1，0)时“”成立，故的最大值为6.法二：由题意知，(2，0)，令P(x，y)，1x1，则(2，0)(x2，y)2x46，当且仅当x1，P(1，0)时“”成立，故的最大值为6.法三：表示在方向上的投影与|的乘积当点P在点B(1，0)处时，有最大值，此时236.答案 6
