1、1.2.7二次函数的图象和性质增减性和最值学习目标1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值知识链接1函数yx22x3的对称轴为x1，该函数的递增区间为(1，)，递减区间为(，1)2函数yx2的最小值为0.预习导引二次函数f(x)ax2bxc(a0，xR)，当a0(a0)时，在区间(，上递减(递增)，在，)上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x处取到最小(大)值f()，这里b24ac.点(，)叫作二次函数图象的顶点.要点一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式解方法一利用二次函数一般式设f(x
2、)ax2bxc(a0)则由得ba，则2ac1，即c2a1.代入整理得a24a，解得a4，或a0(舍去)b4，c7.因此所求二次函数解析式为y4x24x7.方法二利用二次函数顶点式设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线对称轴为x，即m.又根据题意函数有最大值为n8，yf(x)a(x)28，f(2)1，a(2)281.解之得a4.f(x)4(x)284x24x7.方法三利用两根式由已知f(x)10的两根为x12，x21.故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，8.解之得a4.所求函数解析式为f(x)4x24x7.规律方法用待定系数
3、法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)ax2bxc(一般式)、f(x)a(xx1)(xx2)(两根式)、f(x)a(xm)2n(顶点式)跟踪演练1已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x.求f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)a(x1)2b(x1)c，f(x1)a(x1)2b(x1)c，又f(x1)f(x1)2x24x，2ax22bx2a2c2x24x，f(x)x22x1.要点二二次函数的增减性例2f(x)4x2mx5在区间2，)上是递增函数，求m的取值范围解函数的顶点横坐标为x，又函数在区间2，)上是递增函数，2，即m16，故m的
4、取值范围是m|m16规律方法f(x)ax2bxc(a0)在(，上是递减函数，在，)上是递增函数跟踪演练2已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，15,5当x1时，f(x)min1；当x5时，f(x)max37.(2)f(x)(xa)22a2，其顶点横坐标为xa.f(x)在区间5,5上是单调函数，a5或a5.故a的取值范围是a5或a5.要点三求二次函数的值域或最值例3求函数yx22ax1在0,2上的值域解当a0时，yminf(0)
5、1，ymaxf(2)44a134a，所以函数的值域为1,34a当0a1时，yminf(a)(a21)，ymaxf(2)34a，所以函数的值域为(a21)，34a当1a2时，yminf(a)(a21)，ymaxf(0)1，所以函数的值域为(a21)，1当a2时，yminf(2)34a，ymaxf(0)1，所以函数的值域为34a，1规律方法在求二次函数的最值时，要注意定义域是R还是区间m，n，若是区间m，n，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看顶点横坐标是在区间m，n内还是在区间的左边或右边在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得跟踪演练3已知二次函数f
6、(x)x22x2.(1)当x0,4时，求f(x)的最值；(2)当x2,3时，求f(x)的最值；(3)当xt，t1时，求f(x)的最小值g(t)解(1)f(x)x22x2(x1)21，其图象顶点横坐标为x1，开口向上，当x0,4时，f(x)maxf(4)4224210，f(x)minf(1)1.(2)f(x)的顶点横坐标为x1，开口向上，f(x)在2,3上为增函数，f(x)minf(2)222222，f(x)maxf(3)322325.(3)g(t)1若f(x)(m1)x2(m1)x1是二次函数，则()Am为任意实数Bm1Cm1 Dm1且m1答案B解析由m10，得m1，故选B.2函数f(x)x2
7、3x2在区间(5,5)上的最大、最小值分别为()A42,12 B42，C12， D无最大值，最小值为答案D解析f(x)(x)2，x(5,5)，当x时，f(x)有最小值，f(x)无最大值3函数f(x)2x23|x|的单调递减区间是_答案(，和0，4已知函数f(x)2x2mx3，当x(，1时是递减函数，则m的取值范围是_答案4，)解析f(x)2(x)23，1，即m4.二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”，解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指定的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴具体做法是：首先要采用配方法，化为ya(xm)2n
8、的形式，得顶点(m，n)其次对区间进行讨论，可分成三个类型：(1)顶点固定，区间也固定(2)顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.一、基础达标1二次函数yx2x2 014的开口方向是()A向上B向下C可能向上也可能向下 D向左答案A解析因为二次项系数0，所以二次函数开口向上2函数f(x)x22x3在闭区间0,3上的最大值、最小值分别为()A0，2 B2，6C2，3 D3，6答案B解析f(x)(x1)22，当x1时，有最大值2；当x3时，有最小值6.3下列函数中，在区间(0，)上是递增函数的是()A
9、yx22x1 ByCy Dy答案C解析yx22x1在1，)上递增，而在(0,1上递减；y在(0，)上是递减函数；y在0,1上递增，1,2上递减只有y在(，1)上递增，在(1，)上递增，从而在(0，)上递增4二次函数yx2bxc的图象的最高点为(1，3)，则bc_.答案6解析由已知bc6.5二次函数yx24x3的值域是_答案(，7解析因为yx24x3(x24x4)7(x2)27.所以这个函数的值域是(，76用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_m.答案3解析设隔墙长为x，则yx2x212x，当x3时，y最大7若f(x)x2bxc，且f(1)0，f
10、(3)0.(1)求b与c的值(2)试证明函数f(x)在区间(2，)上是递增函数(1)解由f(1)0，f(3)0得即 解得b4，c3.(2)证明设任意x(2，)，且h0，f(xh)f(x)(xh)24(xh)3(x24x3)(xh)2x24(xh)4x2xhh24hh(2xh4)，x(2，)，2xh40，f(xh)f(h)0，即f(xh)f(h)，因此函数f(x)在区间(2，)上是递增函数二、能力提升8设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()答案D解析由A，C，D的图象知f(0)c0.又abc0，ab0，对称轴x0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，对称轴x0，
11、B错误9函数y的值域为()A0， B(，C(0， D(0，)答案C解析x22x3(x1)222，0，函数y的值域是(0，10若二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1，则f(x)的表达式为_答案f(x)x2x1解析由f(0)1可设f(x)ax2bx1(a0)，故f(x1)a(x1)2b(x1)1，可得f(x1)f(x)2axab2x，所以2a2，ab0，故a1，b1，所以f(x)x2x1.11已知二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标分别是2,6，图象与y轴相交，交点和原点的距离为3，求此函数解析式解设二次函数解析式为ya(xx1)(xx2)与x轴交点的横坐标分
12、别为x12，x26.代入得ya(x2)(x6)，ya(x24x12)ax24ax12a.又图象与y轴相交，交点和原点的距离为3，|12a|3.12a3或12a3，即a或a.所求函数解析式为y(x24x12)x2x3或y(x24x12)x2x3.三、探究与创新12设函数f(x)ax22x2.对于满足1x4的一切x的值都有f(x)0，求实数a的取值范围解方法一当a0时，f(x)a(x)22.或或a1或a1或，即a；当a0时解得；当a0时，f(x)2x2，f(1)0，f(4)6，不合题意由上可得，实数a的取值范围是a.方法二x(1,4)时，f(x)0即ax22x20，a2()，又2()2()2，由1x4，知(，1)，02()2，a.13已知函数f(x)2x22ax3在区间1,1上有最小值，记作g(a)(1)求g(a)的函数表达式；(2)求g(a)的最大值解(1)由f(x)2x22ax32(x)23，知图象顶点横坐标为x，根据二次函数图象的顶点横坐标与题设区间的相对位置分类讨论当1，即a2时，g(a)f(1)2a5；当11，即2a2时，g(a)f()3；当1，即a2时，g(a)f(1)52a.综合，得g(a)(2)当a2时，g(a)1；当2a2时，g(a)3；当a2时，g(a)1.当a0时，g(a)的最大值为3.