1、江西省上饶中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）时间：120分钟 分值：150分一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据集合的并集运算，即可得到本题答案.【详解】因为，由集合并集运算，得.故选：D【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属基础题.2.若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质及特值法可得答案【详解】对于A，正确；对于B，当时，显然不成立，错误；对于C，当时，显然不成立，错误；对于D，当时，显然不成立，错误故选
2、A【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，结合“”与“”的关系，即可得出结论.【详解】当时，则成立，而当时，如，则不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于容易题.4.设，则大小关系（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的单调性可得，再由指数函数的单调性可得，即可得出结论.【详解】，所以.故选：B【点睛】本题考查对数、指数幂的
3、大小关系，利用函数的单调性是解题的关键，注意与特殊数的对比，属于容易题.5.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及一些特殊值结合排除法进行判断即可.【详解】解：由，可知为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，B；令，可知，可知图象与x轴只有一个交点，排除C .故选：D【点睛】本题考查根据解析式选择图象，其关键是根据函数的性质以及特殊值选择，通常用排除法，属于基础题.6.已知，若，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，得到函数图象开口向下，且以为对称轴，即可求解.【详解】由，根据二次函数的性质，可得函数图
4、象开口向下，且以为对称轴，即，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.7.若，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，求得，又由，代入即可求解.【详解】因为，所以，解得，又由.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.8.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据是偶函数及在的单调性，根据
5、，可转化为，化简整理，即可得结果.【详解】因为，所以，所以，即，解得或，故选：B.【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，不等式的解法，难点在于根据偶函数的性质，将函数值的大小关系，转化为自变量的大小关系，考查分析计算的能力，属中档题.9.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得导数，设，结合函数极值点的概念，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数，则，设，要使得函数有两个不同的极值点，则满足，且对称轴，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点及其应用，其中解答中熟记导数与函数的极值点的关系是解答
6、的关键，着重考查推理与运算能力.10.函数其中的图象如下图所示，为了得到图象，则只需将的图象（ ）A. 向右平移个长度单位B. 向左平移个长度单位C. 向右平移个长度单位D. 向左平移个长度单位【答案】B【解析】【分析】根据图像分别求出，再根据图像过点，结合的范围，求出的值，即可得的解析式，根据平移变换的规则即可得答案.【详解】根据图像可得A=1，所以，所以，又图像过点，所以，解得因为，所以所以，所以只需将的图像向左平移个长度单位即可得到的图像.故选：B.【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式、图像的平移变换，关键点在于根据特殊点及范围，求出的值，考查分析化简的能力，属基础题.11.若，
7、满足且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简得到，利用基本不等式，求得，设，利用单调性求得函数的最小值，即可求解.【详解】因为，则又由，当且仅当时等号成立，即，所以，设，可得函数在上单调递减，所以，即当时，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查了基本不等式，以及函数的单调性的综合应用，其中解答中熟记基本不等式，以及合理利用函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12.已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，得或，将问题等价转化为直线和直线与函数的图象共有个交点，数
8、形结合可得出实数的取值范围.【详解】令，即，得或，则直线和直线与函数的图象共有个交点.当时，令，得.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.函数的极大值为，且当时，如下图所示：由于关于的方程有个不同的实数解，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，所以，直线与函数的图象有个交点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，一般转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分13.命题，使得的否定为_【答案】，使得【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准
9、确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题，使得的否定为“，使得”.故答案为：，使得【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，属于基础题.14.函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于0，建立的不等量关系，求解即可.【详解】函数有意义，需，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查对数函数的定义域以及一元二次不等式的求解，考查数学计算能力，属于基础题.15.已知，且，则的值为_.【答案】.【解析】【分析】根据的范围及，可求得的值，再根据，利用两角差的正弦公式展开即可得结果.【详解】因为
10、，所以， 又，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，易错点在于根据的范围，判断的正负，属基础题.16.已知函数图像上有动点，函数图像上有动点.若两点同时从纵坐标的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至两点的纵坐标值再次相等，且始终满足，则在此运动过程中两点的距离的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意求出从初始位置出发至两点的纵坐标值再次相等时对应的的取值，进而求得的取值范围，用两点距离公式表示，进而表示成关于的函数，用导数的观点求的取值范围即可.【详解】解：因为动点在函数图像上，动点在函数函数图像上，所以.由题知：，.由当两点同时从
11、纵坐标的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至两点的纵坐标值再次相等时，得，所以，解得或.所以，当两点同时从纵坐标的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至两点的纵坐标值再次相等时.，设，则.设，则，由得或.时，单调递增；时，单调递减；时，此时；时，此时，.故答案为：.【点睛】本题主要考查用导数求最值，考查学生用导数解决问题的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知集合， ，全集，求：（1）；（2） 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据对数函数的性质和一元二次不等式的解法，求得集合，再集合集合的交集、并集和补集的
12、运算，即可求解.【详解】（1）由集合，根据集合交集运算，可得；（2）由（1）知，集合，又由全集，所以，所以【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及对数函数的性质和一元二次不等式的求解，着重考查运算与求解能力.18.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质把函数的解析式化成分段函数解析式形式，然后分类讨论求解即可；（2）问题转化为：，由（1）求出函数的最小值，最后根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1），当时，；当时，无解；当时，； 综上：；（2）当时，；当时，；当时，所以，若，恒成立，只需 或
13、，综上：.【点睛】本题考查了解绝对值不等式的方法，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.19.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若方程，在只有一个根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦、降幂公式和辅助角公式将化简为正弦型函数，利用正弦函数的递增区间整体代换，即可得出结论；（2）根据的解析式，由的范围求出整体角的范围，转化为在该范围图象与只有一个交点即可.【详解】（1），解不等式，得.因此，函数的单调递增区间为；（2），由题意可得设方程可以化为：，即，的图像与的图像有且只有一个交点，根据图像得.【点
14、睛】本题考查三角恒等变换化简函数式、正弦函数的图象和性质，整体代换是解题的关键，考查数形结合思想和计算求解能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为，直线与曲线交于、两点.（1）求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线上有定点，求的值.【答案】（1）直线：；曲线：；（2）.【解析】【分析】（1）将两式相加，消去参数，即可得到本题答案；在方程两边同时乘以，再利用转化为直角坐标方程即可；（2）把直线的参数方程：（为参数），代入曲线的直角坐标方程，利用参数的几何意义求解，即可得到本题答案.【详解】（1
15、）将两式相加，可得直线的普通方程为：，由题，得，则，所以直角坐标方程为：；（2）把直线的参数方程：（为参数）代入曲线方程化简得： ，设对应的参数分别为，因为在曲线内，所以异号，由韦达定理，得所以.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程的几何意义，属于中档题.21.新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.（1）将A公司生产防护服
16、的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；（2）根据（1）的结果，由题意，只需在上恒成立，即在上恒成立，根据函数单调性，求出的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，所以，公司生产防护服的利润；（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；即在上恒成立；因为，令，因为，所以，记，任取，则因为，所以，即，所以，
17、即，所以函数上单调递增；因此，即的最大值为；所以只需，即.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.22.设函数.（1）当求函数的单调区间和极值；（2）若存在满足，证明：成立.【答案】（1）当时，在上单调递增没有极值；当时，在上单调递增，在上单调递减，极小值为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由时，求得导数，结合导数的符号，求得函数的单调性，进而求解极值；（2）由，得到，由于的极小值点为，可设，设，根据函数的单调性求出，即可求解.【详解】（1）由时，函数，则，令，解得；令，解得；所以函数在上单调递减；在上单调递增；当时，函数有极小值，极小值为，无极大值.（2）由，可得，从而得，由，则，由（1）知，当时，从而得在上单调递增没有极值，不符合题意；当时，可得；可得得，得，所以函数在上单调增，在上单调减，可设设 ，仅当时取得“”所以在为单调递增函数且当，时有，即又由，所以又由(1)知在上单调递减，且，所以从而得证成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题