1、1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法，并能计算简单组合体的表面积和体积(难点).3.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积(重点)知识点1柱体、锥体、台体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱S圆柱2r(rl)，r为底面半径，l为侧面母线长圆锥S圆锥r(rl)，r为底面半
2、径，l为侧面母线长圆台S圆台(r2r2rlrl)，r为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长【预习评价】1一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示不同的展开方式，几何体的平面展开图不一定相同；表面积是各个面的面积和，几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定2求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？提示求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径知识点2柱体、锥体与台体的体积公式几何体体积说明柱体V柱体ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体(SS)hS，S
3、分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高【预习评价】1若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为()A27 cm3 B60 cm3C64 cm3 D125 cm3解析V长方体34560(cm3)答案B2棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于_解析V台体(24)33(62)62.答案62题型一空间几何体的表面积【例1】圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积解如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中A1AB60，过A1作A1HAB于H，则O1OA1HA1Asin 604(cm)，AHA1Acos 6
4、04(cm)设O1A1r1，OAr2，则r2r1AH4.设A1B与AB1的交点为M，则A1MB1M.又A1BAB1，A1MO1B1MO145.O1MO1A1r1.同理OMOAr2.O1OO1MOMr1r24，由可得r12(1)，r22(1)S表rr(r1r2)l32(1)(cm2)规律方法空间几何体的表面积的求法技巧：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和【训练1】若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为()A.
5、B2 C. D.解析所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l1，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积：S811sin 602.故选B.答案B题型二柱体、锥体、台体的体积【例2】在RtABC中，AB3，BC4，ABC90，把ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD，且BD，两个圆锥的高分别为AD和DC，所以VV1V2BD2ADBD2CDBD2(ADCD)BD2AC5.故所形成的几何体的体积是.规律方法求几何体体积的常用方法【
6、训练2】如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.解在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Da，VA1ABDVAA1BD，a2aaad.da.A到平面A1BD的距离为a.考查方向题型三求组合体的表面积与体积方向1知三视图求体积(表面积)【例31】(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于()A8 cm2 B7 cm2C(5) cm2 D6 cm2(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C4
7、2 D36解析(1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S表S圆柱侧S圆锥侧S底21212127(cm2)(2)由题意，该几何体是由高为6的圆柱截去一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为V32632463，故选B.答案(1)B(2)B方向2割补法求体积【例32】如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积解因为EBBFFD1D1E a，D1FEB，所以四边形EBFD1是菱形连接EF，则EFBEFD1.易知三棱锥A1EFB与三棱锥A1EFD1的高相等，故VA1EB
8、FD12VA1EFB2VFEBA1.又因为SEBA1EA1ABa2，则VFEBA1a3，所以VA1EBFD12VA1EFB2VFEBA1a3.规律方法组合体体积与表面积的求解策略：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.课堂达标1一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A. B.C. D.解析设底面圆半径为r，
9、母线长为h，h2r，则.答案A2如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A5 B6 C20 D10解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.答案D3已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为()A9 B9C12 D12解析由三视图可知三棱锥的高为2，底面正三角形的高为3，则底面正三角形的边长a满足a3，解得a2.又侧棱长为2，故该正三棱锥是正四面体，该三棱锥的表面积为：4(2)212.故选D.答案D4设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别
10、为V1，V2.若它们的侧面积相等，且，则的值是_解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2.由，得，.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2.答案5某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_解析由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，棱柱的底面面积S(12)1，棱柱的高为1，故棱柱的体积V.答案课堂小结1棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们
11、的侧面积与各自的底面积的和2对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.基础过关1一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为()A2 B2 C4 D8解析圆台的轴截面如图，由题意知，l(rR)，S圆台侧(rR)l2ll32，l4.答案C2将边长为1的正方形以其一边所在直线为
12、旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3C2 D解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.答案C3若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于()A6 B6C3 D6解析圆台的母线长为，S圆台侧(12)3.答案C4已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3.解析依题意得，该四棱锥底面平行四边形的一边长为2，该边上的高为1.又依据正视图知该四棱锥高为3.V四棱锥Sh2132(m3)答案25一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为_解析S圆柱22aa2，S圆锥aa2，S圆柱S圆锥
13、21.答案216现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析设新的底面半径为r，则有r24r28524228，解得r.答案7已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S侧解由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥VABCD.(1)V(86)464.(2)该四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰
14、三角形，且BC边上的高为h1 4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2 5.因此S侧24024.能力提升8一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21 B18C21 D18解析由三视图可知，该多面体为一个棱长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6221.答案A9体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A54 B54 C58 D58解析设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52h1(r29r23rr)，r2h112.令原圆锥的高为h，由相似知识得，hh
15、1，V原圆锥(3r)2h3r2h11254.答案A10由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解析VV长方体V圆柱112(121)2.答案211如图是一个空间几何体的三视图(俯视图外框为正方形)，则这个几何体的体积为_解析空间几何体为正四棱柱内挖空了一个圆柱，如图正四棱柱的底面边长为4，高为3，圆柱的底面半径为1，这个几何体的体积为443123483.答案48312一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积解这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S1222(12)2(24)3.13(选做题)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解(1)作圆锥的轴截面，如图所示因为，所以rRx，所以S圆柱侧2rx2Rxx2(0xH)(2)因为0，所以当x时，S圆柱侧最大故当x时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大