1、数列与不等式专 题 七1重视等差数列与等比数列性质的应用：高考的客观性试题中不少的数列题，如果利用常规方法来解答，一般都较为麻烦，因此要重视利用等差、等比数列的常用性质解题要善于抓住等差与等比数列的下标变化，巧妙运用相关的性质，往往可使问题快速求解，达到化繁为简的目的”2“nnq重视数学思想方法的渗透：高考中对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，对数列的考查中同样渗透了大量的数学思想方法：如利用函数思想求解数列中的最大项及前 项和的最值；利用方程思想求解 知三求二 的典型题；当利用等比数列前 项和公式时对公比 的讨论体现了分类讨论思想；利用化归思想解答有关递推数列的
2、问题；利用归纳思想实现根据数列的前几项猜想数列的通项公式1*11(3)Nnnnnnnaf aSf SSf an要掌握如下三种递推关系：，构造等差或等比数列是解决此类问题的有效方法求和问题也是常见的试题除可转化为等差、等比数列的求和问题应熟练掌握外，还应掌握一些特殊数列的求和方法，如错位相减法、倒序相加法、裂项求和法等“”“”“”“”“”“”“”“”4理解等差数列与等比数列的内在联系：对照等差与等比数列的定义及相关公式，从本质上可以发现：如果等差数列体现为 和 与 差，则等比数列体现为 积 与商；如果等差数列体现为 积 与 商，则等比数列体现为 乘方 与 开方 14351216.35.2nnnn
3、naaaaaabbnS等比数列中，已知，求数列的通项公式；若，分别为等差数列的第 项和第 项，试求数列的通项公式及前 项和例1.考点1 等差数列与等比数列的综合题 3353511*21*16221832832.28164321216 1211222()16 122812622()82 NNnnnnnnnaqqqaabbbdbbdbddbnnbannnSnn nn设的公比为，由已知得，解得，所以由得，则，设的公差为，则有，解得，从而，所以数列的前 项和解析：11()()()nnnaanSdqadq此类试题主要表现为等差数列与等比数列的通项公式和前 项公式的混合运算，解答时主要根据它们公式中含有的
4、各自的五个量，或，通过建立方程 组 等，将问【思维启题转化为关于 与或加以迪】解决 1122331231649602.111.1nnnnnnaanSbbb Sb SabSSS等差数列的各项均为正数，前 项和为，为等比数列，且，求 与；求和：变式题：123322*1*31.93960664625()8432121()8()031nnnnnnnnadbqdandbqb Sd qb Sd qannbdndnqq 设的公差为，的公比为，则 为正整数，依题意有，解得或舍解析，去，故：NN 12352121111111 32 4211111111(1)23243521111(1).221324122232
5、nnnnnSnn nSSSn nnnnn ，则 2112111,2(1).23.112nnnnnnnnnnnnaaaanaanbaabnSanT在数列中，证明：数列是等比数列，并求的通项公式；令，求数列的前 项和；求数列的前 项和例2.考点2 递推数列问题 21232.nnnnnanbTST构造数列相邻两项之比，利用定义证明；的通项是由一个等差数列与等比数列对应项积构成的，因此用错位相减法求和；利用的结论，结合与之间的关系可求得分析：12222221111211112112.2 nnnnnnnnaannannnaaann由条件得，又时，故数列是首项为，公比为 的等比数列从而，即解析：22123
6、12111(1)211222352122221352121222232213111212()22222211132122522122125.5252222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbnSnnSnnSSnn 由知，得，两式相减得，所以 2112321111146222121()()212.32nnnnnnnnnnnnnTSaaSaaaaaaTaaTS由，得，所以nn本题主要考查等比数列的定义、通项公式与前 项和公式，以及考查递推数列的转化、错位相减法求数列的前 项和，同时考查转化的思想及【思维启迪】方程思想 12*1222121234212120()21111111.23Nnnnn
7、nnnnnnnnnnnabaaaba anbqaa qcaacaaaaaa已知数列和满足：，且是以 为公比的等比数列证明：；若，证明：数列是等比数列；求：和：变式题 11221222222123122222222222212122222122*222225(1.2)5Nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbqbaaaqa aaaaqaaqa qaaqa qcaaa qa qaaacqqnqqa证明：由，有，所以证明：因为，所以，解析：所以是首项为，公比为的，所以等比数列 2 22 221221221321242242224221224221112111111111()()111
8、11111(1)(1)3111(1)23nnnnnnnnnnqqaaaaaaaaaaaaaqqqaqqqqqq由得，于是242212224221222222222122222111131113(1).2211113111(3 12111311)23 131()2 12121 nnnnnnnnnnqnaaaqqqqaaaqqqqqqnqqaaaqqqqq当时，故）当时（，（.1）3()*log22,13.112112f nnnnnnf xxbAananTnaTF nnnN备选题:已知函数的图象过点，记，求数列的通项公式；设数列的前 项的积为，是否存在正整数，使得存在最小值？若存在，求出最小值与相
9、应的 值；若不存在，请说明理由 212111 nnf xAbaTF nF nF nnF nn第小题利用图象过点 首先可确定的值，由此得到函数的解析式，然后利用对数的运算性质得到数列的通项公式；第小题根据表达式的结构，考虑比较与 的大小，通过判断的单调性来确定其最值情况，分析：进而判断 的存在性 333*32*1log22,11log4431.log213log21221.1211111(1)(1)(1)2121 NNnnnnnf xxbAbbbf xxannnaTF naannaann因为函数的图象过点，所以，即，解得所以，故，即数列的通项公式析为解：，1211212211111(1)(1)(
10、1)23121(1)11111.1211211(1)(1)21232321 2222212321 234841.483 nnnnF nF naaannaaaannannnnnnnnnnnnnn则 *min2 312 3.321113NnnTF nF nnnnF nFn故所以随 的增大而增大因为存在正整数，使存在最小值，且最小值为，所以当时，.b本题是一道数列与函数交汇的一道综合题，将这两个方面所涉及的知识融合在一起是解答本题的关键利用函数知识体现在确定 的值及求函数的最值；利用数列知识主要体现在求数列通项及单调性的判断加强此类交汇性综合试题的训练，有助于提高学生的综合解【思维启】题能力迪 11
11、11111112112411132nnnnnnnnnnnnnnnaaf naanaAaBaaaa f nnaanAaaBa几种常见形式的递推数列与解答策略形如型：可用累加法，如求满足递推公式的通项公式形如型：可用迭代法或待定系数法等，如求满足递推公式的通项公式形如型：可用迭代法、递推法等，如求满足递推公式的通项公式形如型：可用取倒法和待定系数法等，1152nnnaaa如求满足递推公式的通项公式 2 1.122()()5 nnnnnnnnSnnSaaSSnSn a已知前 项和与关系式：可用如求满足公式的通项公式如果实际问题涉及到等量、等额以及倍数、百分比率 等问题，则可考虑等差或等比数列来解决，
12、但当公差或公比不易确定，而数列的相邻两项 或几项 之间的关系容易确定时，就可以通过建立递推数列模型来解决递推数列的模型较多，在解答时要具体问题具体分析，特别是在解模时，要注意将递推数列经过适当变形或利用待定系数法等手段转化为等差或等比数列来解决 13132311.3312l1ogloglo1.(22g011)nnnnnnnnaaqaSanSbaaab已知等比数列中，公比为的前 项和，证明：；设，求数全列的通国新课标卷项公式 131323111().333111113331213logloglog1.21.21(12)212 nnnnnnnnnnnnaSbaaan naSn nnbb证明：因为，
13、所以，所以的通项公式为解析：13412.(12201)nnmnlm kn kl kaaqSnSSSqSSSkaaa 已知是以 为首项，为公比的等比数列，为它的前 项和当、成等差数列时，求 的值；当、成等差数列时，求证：对任意自然数，、也成等四川卷差数列 112233413414332215.1122101nnaaqSaSaqqSaqqqSSSSSSaqaqqaqqq由已知，因此，当、成等差数列时，可得，化简得，解得解析：111121121.11212.22.nnm kn kl kmnlmlnmlnmm klnkmln km kn kl kl kn kqaaaaaaqSSSSSSa qa qa qqqqqqqaaaqqqaqaaaa证明：若，则的每项，此时、显然成等差数列若，由、成等差数所以，、列可得，也即整理成等得因此，差数列
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