1、第五节指数与指数函数命题导航考试要点命题预测(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.1.考向预测:(1)利用指数函数的单调性比较函数值的大小;(2)指数函数图象的识别;(3)指数函数单调性的应用;(4)指数函数的实际应用.2.学科素养:主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.1.指数幂的概念(1)根式的概念:根式的概念符号表示备注如果xn=a,那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时,正数的n次方根是一个正
2、数,负数的n次方根是一个负数na0的n次方根是0当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数na负数没有偶次方根 (2)两个重要公式:nan=a,n为奇数,|a|=a(a0),-a(a0,m,nN*,n1).(ii)正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam(a0,m,nN*,n1).(iii)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的运算性质:(i)aras=ar+s(a0,r,sQ).(ii)(ar)s=ars(a0,r,sQ).(iii)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).3.指数函数的图象与性质a10a0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当
3、x1在(-,+)上是单调增函数在(-,+)上是单调减函数提醒(1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a1和0ad1ab0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a0,且a1)的图象越高,底数越大.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)nan与(na)n都等于a(nN*).()(2)函数y=23x与y=2x+1都不是指数函数.()(3)若am0,且a1),则mn.()(4)当a0)的值是() A.1B.aC.a15D.a1710(2)化简:3-22+3(1-2)3+4(1-2)4+5-26=.(3)1.5-13-760+81442+(323)6-2323=.答案
4、(1)D(2)3-1(3)110命题方向二化简求值典例2化简下列各式:(1)2350+2-2214-12-(0.01)0.5;(2)56a13b-2(-3a-12b-1)(4a23b-3)12;(3)(a23b-1)-12a-12b136ab5.解析(1)原式=1+144912-110012=1+1423-110=1+16-110=1615.(2)原式=-52a-16b-3(4a23b-3)12=-54a-16b-3(a13b-32)=-54a-12b-32=-541ab3=-5ab4ab2=-54a-12b-32.(3)原式=a-13b12a-12b13a16b56=a-13-12-16b1
5、2+13-56=1a.规律总结指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.1-1化简:(1)(323)6+(-2 018)0-41649-12+4(3-)4 ;(2)a32-1a+a12+1-a+a12a12+1+a-1a12-1;(3)a13a12a(a0).解析(
6、1)(323)6+(-2 018)0-41649-12+4(3-)4=108+1-7+-3=99+ .(2)原式=(a12-1)(a+a12+1)a+a12+1-a32-a+a-a12-a32+a12-a+1a-1=a12-1-1-aa-1=a12.(3)a0,a13a12a=a13a12a12=a13a=a13a12=a56=a512.指数函数的图象及应用典例3(1)函数f(x)=-3|x|+1的大致图象是()(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.(3)若函数y=ax-m+n-3(a0且a1)的图象恒过定点(3,2),则m+n=.答案(1)A(2)-1,1(3
7、)7解析(1)因为函数f(x)=-3|x|+1,所以f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x),即函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D.当x=0时, f(0)=-30+1=0,即函数图象过原点,故排除C.故选A.(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1b1.探究(变条件)本例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值范围.解析曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由图象可得,b的取值范围是(0,1).方法技巧应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y=ax(a0,且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1
8、,a),(0,1),-1,1a.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足,则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.2-1(1)函数y=ax-a-1(a0,且a1)的图象可能是()(2)已知函数f(x)=ax-2+7(a0且a1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的图象上,则幂函数g(x)的图象是()(3)若关于x的方程|ax-1|=2a(a0,且a
9、1)有两个不等实根,则a的取值范围是.答案(1)D(2)D(3)0,12解析(2)由题意知, f(2)=a2-2+7=8,定点P(2,8),设幂函数g(x)=x,将P(2,8)代入得2=8,故=3,即g(x)=x3,故选D.(3)方程|ax-1|=2a(a0,且a1)有两个不等实根转化为函数y=|ax-1|的图象与y=2a的图象有两个交点.当0a1时,如图,所以02a1,即0a1时,如图,而y=2a1,不符合要求.所以0a12.指数函数的性质及应用命题方向一比较指数幂的大小典例4(1)已知a=1223,b=2-43,c=1212,则下列关系式中正确的是()A.cabB.bacC.acbD.ab
10、c(2)设a=0.230.32,b=20.01,c=0.320.23,则a,b,c的大小关系为.答案(1)B(2)ac2312,所以124312231212,即bac.(2)0.230.320.230.230.320.23120.01,所以acf(3a)的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.(1,4)D.(0,4)(2)已知133x+191-x,则x的取值范围是.(3)已知4x-2x+1-80,所以ex+11,所以-2-2ex+10,所以-11+-2ex+1m2-4m+2恒成立,求实数m的取值范围.答案(1)(-,1解析(1)设u=-x2+2x+1,y=12u为减函数,函数y=12-
11、x2+2x+1的减区间即函数u=-x2+2x+1的增区间.又u=-x2+2x+1的增区间为(-,1,所求减区间为(-,1.(2)(i)f(x)是R上的单调递增函数.(ii)f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),a-2e-x+1=-a+2ex+1,2a=2,a=1,f(x)=1-2ex+1,令t=ex+1,ex0,t1,又g(t)=1-2t在(1,+)上为增函数,-1g(t)1,即-1f(x)m2-4m+2对任意实数x恒成立时,有m2-4m+2-1,即m2-4m+30,1m3,故实数m的取值范围是1,3.规律总结(1)利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则.(2)求解与
12、指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.3-1不等式12x2+ax1,所以022x+12,所以-11-22x+10,则a3a2=() A.a12B.a32C.a23D.a13答案D2.若3ay1y2B.y2y1y3C.y1y2y3D.y1y3y2答案D4.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为()A.18B.21C.24D.27答案D5.设a12-a-12=m,则a2+1a=()A.m2-2B.2-m2C.m2+2D.m2答案C将a12-a-12=m两边平方得,(a12-a-12)2=m2,即a-2+a-
13、1=m2,所以a+a-1=m2+2,即a+1a=m2+2a2+1a=m2+2.故选C.6.函数f(x)=51-|2x+4|的单调递增区间为()A.-2,+)B.-32,+C.-,-32D.(-,-2答案D由题意知,函数f(x)的定义域为R,设u=g(x)=1-|2x+4|,则g(x)=-2x-3,x-2,2x+5,x-2,则g(x)在(-2,+)上单调递减,在(-,-2上单调递增,因为y=5u在R上单调递增,所以根据复合函数的单调性,可得函数f(x)的单调递增区间为(-,-2.7.已知函数f(x)=3x-3-x,则f(x)()A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶
14、函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数答案B函数f(x)的定义域为R, f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),函数f(x)是奇函数.又y=3x在R上是增函数,函数y=13x在R上是减函数,函数f(x)=3x-13x在R上是增函数.8.函数f(x)=12x2+2x+3值域为()A.14,+B.-,14C.0,14D.0,14答案C令t=x2+2x+3,则t=(x+1)2+22,y=12t为减函数,所以y122=14,结合y=12t0,可得C选项.9.函数y=2x2x+1(xR)的值域为()A.(0,+)B.(0,1)C.(1,+)D.0,12答案By=2x2x+1
15、=2x+1-12x+1=1-12x+1,012x+11,-1-12x+10,01-12x+11,即0y0且a1,函数f(x)=a4-2x+3的图象必过一个定点A,则点A的坐标是.答案(2,4)解析根据指数函数的图象恒过定点(0,1),可令4-2x=0,得x=2,f(2)=a0+3=4,点A的坐标是(2,4).11.若关于x的方程22x-2x+1+a=0在0,1内有解,则实数a的取值范围是.答案0,1解析由22x-2x+1+a=0得a=2x+1-22x,令2x=t,则a=2t-t2=-(t-1)2+1,x0,1,t1,2,当t=1时,a取得最大值1,当t=2时,a取得最小值0,0a1.12.已知
16、函数f(x)=10x-10-x10x+10-x.(1)判断函数的奇偶性;(2)证明: f(x)在定义域内是增函数;(3)求f(x)的值域.解析(1)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=10-x-10x10-x+10x=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)证明:f(x)=10x-10-x10x+10-x=102x-1102x+1=1-2102x+1,任取x1,x2R,且x2x1,则f(x2)-f(x1)=1-2102x2+1-1-2102x1+1=2102x2-102x1(102x2+1)(102x1+1).因为x2x1,所以102x2-102x10,又102x2+10,102x1+10
17、,所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在定义域内是增函数.(3)令y=f(x),由y=10x-10-x10x+10-x,解得102x=1+y1-y,因为102x0,所以-1y1,即函数f(x)的值域是(-1,1).B组提升题组1.已知函数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是() A.a0,b0,c0 B.a0C.2-a2c D.2a+2c2答案D作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图中实线所示,因为abf(c)f(b),所以结合图象知f(a)1,a0,0f(c)1,0c1,02a1,12cf(c),即1-2a2c-1,2
18、a+2c0,且a1,函数y=a2x+2ax-1在-1,1上的最大值是14,则实数a的值为.答案13或3解析令t=ax(a0,且a1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t0).当0a1,x-1,1时,t=ax1a,a,此时f(t)在1a,a上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上可得a=13或3.4.已知函数f(x)=2|x-2|-1在区间0,m上的值域为0,3,则实数m的取值范围是.答案2,4解析函数f(x)=2|x-2|-1的图象的对称轴为x=2,且在(-,2上单调递减,在(2,+)上单调递增,由函数f(x)=2|x-2
19、|-1在区间0,m上的值域为0,3,知0m-22,即m2,4.5.已知函数f(x)=1-42ax+a(a0,且a1)是定义在(-,+)上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x(0,1时,tf(x)2x-2恒成立,求实数t的取值范围.解析(1)因为f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).即1-42a-x+a=-1+42ax+a,所以a=2.(2)记y=f(x),即y=2x-12x+1,所以2x=1+y1-y.由2x0,得1+y1-y0,解得-1y1.所以f(x)的值域为(-1,1).(3)由tf(x)2x-2得t2x-t2x+12x-2,即(2x)2-(t+1)2x+t-20.令u=2x,因为x(0,1,所以u(1,2.即当u(1,2时,u2-(t+1)u+t-20恒成立.所以12-(t+1)1+t-20,22-(t+1)2+t-20,解得t0.故t的取值范围是0,+).
