1、核心素养测评 五十三圆锥曲线中求值与证明问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知抛物线y2=2px(p0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=,则实数为()A.B.C.2D.3【解析】选C.把点A代入抛物线方程,得2=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0).设M,则=,=.由=,得,解得=2或=1(舍去).2.已知F1,F2是椭圆+=1的左右焦点,点A的坐标为,则F1AF2的平分线l所在直线的斜率为()A.-2B.-1C.-D.-【解析】选A.因为A,可知A在椭圆上,又F1,F2是椭圆+=1的左右焦点,F1(-1
2、,0),所以AF1x轴,所以|AF1|=,|AF2|=,所以点F2(1,0)关于F1AF2的平分线l对称的点F在线段AF1的延长线上,又|AF|=|AF2|=,|FF1|=1,所以F(-1,-1),线段FF2的中点,F1AF2的平分线l的斜率k=-2.3.已知双曲线C:x2-4y2=1的左焦点恰好在抛物线D:y2=2px(p0)的准线上,过点P(1,2)作两直线PA,PB分别与抛物线D交于A,B两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,则点A,B的纵坐标之和为()A.2B.4C.-4D.4【解析】选C.C的左焦点F(-1,0),D的准线x=-,故p=2.运用极端化思想处理,当两直线PA,PB重合时,
3、A,B的坐标均为(1,-2),点A,B的纵坐标之和为-4.一般性证明:设A,B,则kPA+kPB=0+=0+=0y1+y2=-4.4.(多选)(2020德州模拟)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点,则有()A.渐近线方程为y=xB.渐近线方程为y=xC.MAN=60D.MAN=120【解析】选BC.由题意可得e=,可设c=2t,a=t,t0,则b=t,A(t,0),圆A的圆心为(t,0),半径r为t,双曲线的渐近线方程为y=x,即y=x,圆心A到渐近线的距离为d=t,弦长|MN|=2=2=t=b,可得三
4、角形MNA为等边三角形,即有MAN=60.二、填空题(每小题5分，共10分)5.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点,满足=3,若SOAB=,则p=_.【解析】可得F,因为=3,所以yA=-3yB,因为A,B,F共线,所以=,=,解得|yB|=p,又SOAB=|yA-yB|=p|yB|=p2=,所以p=2.答案:26.(2020杭州模拟)若双曲线mx2-y2=1的渐近线为y=2x,则m=_;焦点F到渐近线的距离为_.【解析】由双曲线的方程知m0,由mx2-y2=0得y=x,因为双曲线的渐近线方程为y=2x,所以=2,得m=4,双曲线的焦点F的坐标为,焦点
5、F到渐近线的距离为:=1.答案:41三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知抛物线C:y2=2px(p0),直线y=x-1与C相交所得的弦长为8.世纪金榜导学号(1)求p的值.(2)过原点O的直线l与抛物线C交于M点,与直线x=-1交于H点,过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点,求证:直线MN过定点.【解析】(1)由,消x可得y2-2py-2p=0,所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,所以弦长为=8,解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.(2)由(1)可得y2=4x,设M,所以直线OM的方程为y=x,当x=-1时,yH=-,代入抛物线方程y2=4x,可得xN=,所以N,当,即y02时
6、,直线MN的斜率k=,直线MN的方程为y-y0=,整理可得y=(x-1),故直线MN过定点(1,0).当=,即y0=2时,直线MN的方程为x=1,必过点(1,0),综上,直线MN过定点(1,0).8.已知抛物线E:y2=4x,圆C:(x-3)2+y2=1.世纪金榜导学号(1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切,求直线l的方程.(2)在(1)的条件下,若直线l交抛物线E于A,B两点,x轴上是否存在点M(t,0)使AMO=BMO(O为坐标原点)?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题知抛物线E的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,过点F(1,0)的直线不可能与圆
7、C相切,所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,设直线斜率为k,则所求的直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,所以圆心(3,0)到直线l的距离为d=,当直线l与圆相切时,有d=1=1k=,所以所求的切线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).(2)由(1)知,不妨设直线l:y=(x-1),交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,联立方程组x2-14x+1=0,所以x1+x2=14,x1x2=1,假设存在点M(t,0)使AMO=BMO,则kAM+kBM=0.而kAM=,kBM=,所以kAM+kBM=+=0y1x2+y2x1-(y1+y2)t=02x1x2-(x2+x1)-(x1+x2-2)t=0,即2-14-(14-2)t=0t=-1,故存在点M(-1,0)符合条件.当直线l:y=-(x-1)时由对称性易知点M(-1,0)也符合条件.综合可知在(1)的条件下,存在点M(-1,0)使AMO=BMO.