1、3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算.3.会判断两向量平行或垂直.4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式知识点一空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法abab(a1b1，a2b2，a3b3)减法abab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘aa(a1，a2，a3)数量积ababa1b1a2b2a3b3知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐
2、标表示形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0aba1b1a2b2a3b30模|a|a|夹角cosa，bcosa，b(1)空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同()(2)设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)且b0，则ab.()(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同()(4)设A(0,1，1)，O为坐标原点，则(0,1，1)()类型一空间向量坐标的计算例1(1)已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(2a3b)(a2b)_.(2)已知ab(2，2)，ab(0，0)，则cosa，b等于()A.B.C.D.考点空间向量运算的坐标表示题点
3、空间向量的坐标运算答案(1)244(2)C解析(1)(2a3b)(a2b)2a23ab4ab6b226222672244.(2)由已知得a(1，)，b(1,0，)，故cosa，b.反思与感悟关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标跟踪训练1若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(ca)(2b)2，则x_.考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案2解析据题意，有ca(0,0,1x)，2b(
4、2,4,2)，故(ca)2b2(1x)2，解得x2.类型二空间向量平行、垂直的坐标表示例2已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算解(1)因为(2，1,2)，且c，所以设c(2，2)，得|c|3|3，解得1.即c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0.即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k10
5、0.解得k2或k.引申探究若将本例(2)中改为“若kab与ka2b互相垂直”，求k的值解由题意知kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k,4)，(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1)(k2)k280，解得k2或k，故所求k的值为2或.反思与感悟(1)平行与垂直的判断应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程选择坐标形式，以达到简化运算的目的跟踪训练2正方体ABCDA1B1C1D1中
6、，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3，若PQAE，求的值考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算解如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3，所以3(a1，a1,0)(a，a，0)，所以3a3a，解得a，所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQAE，所以0，所以0，即0，解得b，所以点Q的坐标为.因为，所以(1，1,0)，所以1，
7、故4.类型三空间向量的夹角与长度的计算例3棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点(1)求证：EFCF；(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量在立体几何中的应用(1)证明以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F，G.所以，.因为00，所以，即EFCF.(2)解因为10，|，|，所以cos，.又因为异面直线所成角的范围是(0，90，所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.(3)解|CE|
8、.反思与感悟通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题跟踪训练3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量在立体几何中的应用解如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0
9、,1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1,1，2)，(0，1，2)，(1)01(1)(2)(2)3.又|，|，cos，.又异面直线所成角为锐角或直角，故A1B与B1C所成角的余弦值为.1已知M(5，1,2)，A(4,2，1)，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为()A(1,3，3) B(9,1,1)C(1，3,3) D(9，1，1)考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案B解析，(9,1,1)2若ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2,1)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C
10、钝角三角形D等边三角形考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案A解析(3,4,2)，(5,1,3)，(2，3,1)由0，得A为锐角；由0，得C为锐角；由0，得B为锐角所以ABC为锐角三角形3已知a(2，3,1)，则下列向量中与a平行的是()A(1,1,1) B(4,6，2) C(2，3,5) D(2，3,5)考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案B解析若b(4,6，2)，则b2(2，3,1)2a，所以ab.4已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1B.C.D.考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案D解析依题
11、意得(kab)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|b|25，ab1，所以4kk250，解得k.5已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为_考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案解析(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，0(1)31303，cos，又，0，.1在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标2两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z
12、2)，则|AB|.3空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围一、选择题1已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b等于()A(2，4,2) B(2,4，2)C(2,0，2) D(2,1，3)考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案B2已知直线l的方向向量为a，平面内两共点向量，下列关系中能表示l的是()AaBakCapD以上均不能考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案D3已知a(1,5，2)，b(m,2，
13、m2)，若ab，则m的值为()A0B6C6D6考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案B解析ab，1m522(m2)0，解得m6.4已知a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，则|ab2c|等于()A3B2C.D5考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案A解析ab2c(9,3,0)，|ab2c|3.5已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于()A(16,0,4) B(8，16,4) C(8,16,4) D(8,0,4)考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案D解析4a2b4(3，2,1)2(2,4,0)(12，8,4)(4,8
14、,0)(8,0,4)6已知向量a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若a与b为共线向量，则()Ax1，y1Bx，yCx，yDx，y考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案C解析a(2x,1,3)与b(1，2y,9)共线，(y0)，x，y.7若A(m1，n1,3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3,9)三点共线，则mn的值为()A0B1C1D2考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案A解析因为(m1,1，m2n3)，(2，2,6)，由题意得，所以，所以m0，n0，所以mn0.二、填空题8已知a(2，3,0)，b(k,0,3)，a，b120，则k_.考点空间向量运算
15、的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案解析ab2k，|a|，|b|，且k0，cos120，k.9已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则xy的值为_考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案4解析由题意知ab，所以，即把代入得x2x20，即(x2)(x1)0，解得x2或x1.当x2时，y6；当x1时，y3.当时，b(2，4，6)2a，向量a，b反向，不符合题意，所以舍去当时，b(1,2,3)a，a与b同向，所以此时xy4.10已知A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则在上的投影为_考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案4解析(
16、5，6,2)(1，1,2)(4，5,0)，(1,3，1)(1，1,2)(0,4，3)，cos，在上的投影为|cos，4.11已知向量a(5,3,1)，b，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案解析由已知得ab5(2)3t13t，因为a与b的夹角为钝角，所以ab0，即3t0，所以t.若a与b的夹角为180，则存在0，使ab(0)，即(5,3,1)，所以所以t，故t的取值范围是.三、解答题12如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求
17、四棱锥P-ABCD的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算解(1)四边形ABCD是边长为2的菱形，且DAB60，OAOC，BOOD1，S菱形ABCD222.在RtPOB中，PBO60，POOBtan60.VPABCDS菱形ABCDPO22.(2)如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，A(0，0)，P(0,0，)E，.00()，|，|.cos，.异面直线所成的角为锐角或直角，异面直线DE与PA所成角的余弦值为.13
18、已知a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)当(ab)(a3b)时，求实数的值；(2)当(a3b)(ab)时，求实数的值考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算解a(1,5，1)，b(2,3,5)，a3b(1,5，1)3(2,3,5)(1,5，1)(6,9,15)(7，4，16)，ab(1,5，1)(2,3,5)(，5，)(2,3,5)(2,53，5)(1)(ab)(a3b)，解得.(2)(a3b)(ab)，(7，4，16)(2,53，5)0，即7(2)4(53)16(5)0，解得.四、探究与拓展14已知三角形的顶点是A(1，1,1)，B(2,1，1)，C(1，1，2)则这个三角形的面积为_考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案解析由题意得(1,2，2)，(2,0，3)，|3，|，(1,2，2)(2,0，3)264，cos Acos，sin A，SABC|sin A.15已知a，b，c为正数，且abc1，求证4.考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算证明设m(，)，n(1,1,1)，则|m|4，|n|，由题意知mn|m|n|，即4.当且仅当，即abc时，取“”号
