1、6平面向量数量积的坐标表示学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.思考1ii，jj，ij分别是多少？答案ii11cos01，jj11cos01，ij0.思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算ab.答案ax1iy1j，bx2iy2j，ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y
2、1)ijy1y2j2x1x2y1y2.梳理设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.知识点二向量模的坐标表示思考若a(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示.答案axiyj，x，yR，a2(xiyj)2(xi)22xyij(yj)2x2i22xyijy2j2.又i21，j21，ij0，a2x2y2，即|a|2x2y2，|a|.梳理设a(x，y)，则|a|2x2y2，或|a|.知识点三向量夹角的坐标表示思考设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos如何用坐标表示？答案cos.梳理设非零向
3、量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则(1)cos .(2)abab0x1x2y1y20.知识点四直线的方向向量思考1什么是直线的方向向量？答案与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.思考2直线的方向向量唯一吗？答案不唯一.因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个.梳理(1)给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.(2)对于直线l：AxByC0，可取直线l的方向向量为m(B0)，或取直线l的方向向量为m(B，A).1.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20
4、.()2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.()3.若两个非零向量的夹角满足cos0，则两向量的夹角一定是锐角.()提示当两向量同向共线时，cos10，但夹角0，不是锐角.类型一平面向量数量积的坐标表示例1已知a与b同向，b(1，2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.考点平面向量数量积的坐标运算题点平面向量数量积的坐标运算解(1)设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2，4).(2)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10).反思与感悟此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵
5、活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(ab)ca(bc)，即向量运算结合律一般不成立.跟踪训练1向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a等于()A.1B.0C.1D.2考点平面向量数量积的坐标运算题点平面向量数量积的坐标运算答案C解析因为a(1，1)，b(1，2)，所以2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，则(2ab)a(1，0)(1，1)1，故选C.类型二向量的模、夹角问题例2在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(5，15).(1)求|，|；(2)求OAB.考点向量的模、夹角
6、的综合题点用坐标求向量的模与夹角解(1)由(16，12)，(516，1512)(21，3)，得|20，|15.(2)cosOABcos?，?.其中(16，12)(21，3)16(21)123300，故cosOAB.OAB45.反思与感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.(2)利用|a|求两向量的模.(3)代入夹角公式求cos，并根据的范围确定的值.跟踪训练2已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围.考点平面向量数量积有关的参数问题题点由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.
7、又a，b的夹角为钝角，即0.又|2，|2，设与的夹角为，则cos0，矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值为.四、探究与拓展14.已知向量a(1，2)，b(2，3).若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A.B.C.D.考点平面向量平行与垂直题点用坐标求解平行、垂直问题答案D解析设c(x，y)，则ca(x1，y2)，(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.由解得x，y.故c.15.平面内有向量(1，7)，(5，1)，(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点.(1)当取最小值时，求的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cosAQB的值.考点平面向量数量积的坐标形式的综合应用题点平面向量数量积的坐标形式的综合应用解(1)设(x，y)，Q在直线OP上，向量与共线.又(2，1)，x2y0，x2y，(2y，y).又(12y，7y)，(52y，1y)，(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y125(y2)28.故当y2时，有最小值8，此时(4，2).(2)由(1)知：(3，5)，(1，1)，8，|，|，cosAQB.
