1、2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列前n项和公式的推导及简单应用学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.知识点一等差数列前n项和公式思考高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求123n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn123(n1)n，又Snn(n1)(n2)21，2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)，2
2、Snn(n1)，Sn.梳理等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式SnSnna1d知识点二a1，d，n，an，Sn知三求二思考在等差数列an中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?答案利用ana1(n1)d代入d，n，an，可求a1，利用Sn或Snna1d可求Sn.梳理(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和.(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.知识点三数列中an与Sn的关系思考已知数列an的前n项和Snn2，怎样求a1，an?答案a1S11
3、；当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，又当n1时也适合上式，所以an2n1，nN*.梳理对于一般数列an，设其前n项和为Sn，则有an特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用.(2)若由anSnSn1(n2)中令n2求得a1与利用a1S1求得的a1相同，则说明anSnSn1(n2)也适合n1的情况，数列的通项公式用anSnSn1表示.若由anSnSn1(n2)中令n2求得的a1与利用a1S1求得的a1不相同，则说明anSnSn1(n2)不适合n1的情况，数列的通项公式采用分段形式.1.若数列an的前n项和为Sn，则anSnSn1，nN*.()2.等差数列的前n项和，等于其首项、第n项
4、的等差中项的n倍.()类型一等差数列前n项和公式的应用例1已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解方法一由题意知S10310，S201220，将它们代入公式Snna1d，得到解方程组得Snn463n2n.方法二S10310，a1a1062，S201220，a1a20122，得a20a1060，10d60，d6，a14.Snna1d3n2n.反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.(2)构成等差数列前n项和公式的元
5、素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.跟踪训练1在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解由得解方程组得或例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a15010001%60，a250(100
6、050)1%59.5，a1050(1000950)1%55.5，即第10个月应付款55.5元.由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S20201105，即全部付清后实际付款11051501255.反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考点等差数列的前n项和
7、应用题题点等差数列前n项和应用题解(1)设n分钟后第1次相遇，由题意，得2n5n70，整理得n213n1400.解得n7，n20(舍去).所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，得2n5n370，整理得n213n4200.解得n15，n28(舍去).所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.类型二由Sn与an的关系求an例3已知数列an的前n项和为Snn2n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？考点an与Sn关系题点由Sn公式求an解根据Sna1a2an1an可知Sn1a1a2an1(n1，nN*)，当n1时，anSnSn1
8、n2n2n，当n1时，a1S1121，也满足式.数列an的通项公式为an2n.an1an2(n1)2，故数列an是以为首项，2为公差的等差数列.引申探究若将本例中前n项和改为Snn2n1，求通项公式.解当n2时，anSnSn12n.当n1时，a1S1121不符合式.an反思与感悟已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时，anSnSn1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.跟踪训练3已知数列an的前n项和Sn3n，求an.考点an与Sn关系题点由Sn公式求an解当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn13n3n123n1.当n1时，代入
9、an23n1得a123.an1.已知等差数列an满足a11，am99，d2，则其前m项和Sm等于()A.2300B.2400C.2600D.2500考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案D解析由ama1(m1)d，得991(m1)2，解得m50，所以S5050122500.2.记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A.2B.3C.6D.7考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题答案B解析方法一由解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3.在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.
10、考点等差数列前n项和性质运用题点等差数列前n项和与中间项的关系答案190解析S1919a101910190.4.已知数列an满足a12a2nann(n1)(n2)，则an_.考点an与Sn关系题点由Sn公式求an答案3(n1)解析由a12a2nann(n1)(n2)，得a12a2(n1)an1(n1)n(n1)，得nann(n1)(n2)(n1)n(n1)n(n1)(n2)(n1)3n(n1)，an3(n1)(n2).又当n1时，a11236也适合上式，an3(n1)，nN*.5.已知等差数列an中：(1)a1，d，Sn15，求n及an；(2)a11，an512，Sn1022，求d.考点等差数
11、列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解(1)Snn15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，a12(121)4.n12，ana124.(2)由Sn1022，解得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)；若mn2p，则anam2ap.3.由Sn与
12、an的关系求an主要使用an一、选择题1.已知数列an中，a11，anan1(n2，nN*)，则数列an的前9项和等于()A.27B.C.45D.9考点等差数列前n项和题点求等差数列前n项和答案A解析由已知数列an是以1为首项，以为公差的等差数列，S99191827.2.在等差数列an和bn中，a125，b175，a100b100100，则数列anbn的前100项的和为()A.10000B.8000C.9000D.11000考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案A解析由已知得anbn为等差数列，故其前100项的和为S10050(2575100)10000.3.在20与40之间插入8个
13、数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为()A.200B.100C.90D.70考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案B解析S10100.4.在等差数列an中，若a2a88，则该数列的前9项和S9等于()A.18B.27C.36D.45考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案C解析S9(a1a9)(a2a8)36.5.在等差数列an中，若S104S5，则等于()A.B.2C.D.4考点等差数列前n项和性质运用题点两等差数列和之比与项之比问题答案A解析由题意得10a1109d4，10a145d20a140d，10a15d，.6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之
14、和为()A.765B.665C.763D.663考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案B解析a12，d7,2(n1)7100，n15，n14，S1414214137665.7.在等差数列an中，aa2a3a89，且an0，则S10等于()A.9B.11C.13D.15考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案D解析由aa2a3a89，得(a3a8)29，an200.当n19时，剩余钢管根数最少，为10根.10.设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题答案15解析设等差数列的公差为d，则S33a1d
15、3a13d3，即a1d1，S66a1d6a115d24，即2a15d8.由解得故a9a18d18215.11.在等差数列an中，an2n3，前n项和Snan2bnc(a，b，c为常数)，则abc_.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和综合问题答案3解析因为an2n3，所以a15，Snn24n，与Snan2bnc比较，得a1，b4，c0，所以abc3.三、解答题12.已知等差数列an的前三项依次为a,4,3a，前k项和Sk2550，求a及k.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解设等差数列an的公差为d，则由题意得(k51舍)a2，k50.13.已知数列an的所有项均
16、为正数，其前n项和为Sn，且Snaan.(1)证明：an是等差数列；(2)求数列an的通项公式.考点an与Sn关系题点由Sn和an递推式求通项(1)证明当n1时，a1S1aa1，解得a13或a11(舍去).当n2时，anSnSn1(a2an3)(a2an13).所以4anaa2an2an1，即(anan1)(anan12)0.因为anan10，所以anan12(n2).所以数列an是以3为首项，2为公差的等差数列.(2)解由(1)知an32(n1)2n1.四、探究与拓展14.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a200，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200_.考点等差数列的
17、前n项和题点等差数列前n项和综合问题答案100解因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，所以a1a2001，所以S200100.15.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式an；(2)若数列bn是等差数列，且bn，求非零常数c.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和综合问题解(1)设等差数列an的公差为d，且d0.a3a4a2a522，又a3a4117，a3，a4是方程x222x1170的两个根.又公差d0，a3a4，a39，a413.an4n3.(2)由(1)知，Snn142n2n，bn.b1，b2，b3.bn是等差数列，2b2b1b3，2c2c0，c (c0舍去).经检验，c符合题意，c.