1、五十六基本计数原理、排列与组合(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A8B24 C48D120C解析：末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有AC432248个故选C.2已知a1,2,3，b4,5,6,7，则方程(xa)2(yb)24可表示不同的圆的个数为()A7B9 C12D16C解析：得到圆的方程分两步：第一步，确定a有3种选法；第二步，确定b有4种选法由分步乘法计数原理知，共有3412(个)不同的圆3(2020石景山区高三一模)将4位志愿者分配到“糖酒会”的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，
2、不同的分配方案有()A72种B36种 C64种D81种B解析：因为将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，所以先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有CA36(种)分配方案4(2020昆明模拟)现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数为()A30B40 C60D90B解析：根据题意，分2步进行分析：从6人中选出3人，有C20(种)选法；记选出相互调整座位的3人分别为A，B，C，则A有2种坐法，B，C只有1种坐法，所以A，B，C相互调整座位有2种情况故不同
3、的调整方案有20240(种)故选B.5将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A18种B24种 C36种D72种C解析：1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA种，1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有CCA种由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为CCACCA36种6五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有()A20种B24种 C32种D48种C解析：若角排在一或五的
4、位置，有 2AA24(种)；若角排在二或四的位置，有2AA8(种)根据分类加法计数原理可得，共有24832(种)排法故选C.7(2020珠海市高三三模)甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有()A210种B252种C343种D336种D解析：分两种情况讨论：每个楼层下1人，则3人下电梯的方法种数为A210；3人中有2人从一个楼层下，另1人从其他楼层选一个楼层下，此时，3人下电梯的方法种数为CA126.由分类加法计数原理可知，3人下电梯的方法有210126336(种)故选D.8从某校4个班级的学生中选出7名学生参加志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各
5、班级的代表数有_种不同的选法(用数字作答)20解析：由题意知，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有1名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成4份，共有C20(种)不同的选法9(2020哈尔滨三中期末)有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场顺序共_种36解析：有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则先排2名女演员，有A种方法，然后插入1名男演员，有A种方法，再把这3个人当作一个整体，和其他2名男演员进行排列，有A种方法根据分步乘法计数原理，可得
6、不同的出场顺序共有AAA36(种)10将7个相同的小球放入4个不同的盒子中(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空隙中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C20(种)不同的放入方式(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C120(种)放入方式B组新高考培优练11某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元
7、、1个8元、1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A18种B24种C36种D48种C解析：若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA12(种)；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA12(种)；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC6(种)；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A6(种)根据分类加法计数原理可得，共有36种情况故选C.12某小学6名教职工的私家车中有3辆为黑色
8、、2辆为白色、1辆为红色，学校刚好备有6个并排的停车位，上班期间这6辆私家车每天都停在这6个车位上，则红色私家车不停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻的停车种数为()A144B288C432D720B解析：(方法一)当白色私家车停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻时，先排3辆黑色私家车，有A种情况，再将1辆红色私家车插入黑色私家车中间的2个空位中的任1个，有C种情况，最后将2辆白色私家车停在两端，有A种情况，此时不同的停车种数为ACA24；当黑色私家车停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻时，先排3辆黑色私家车，有A种情况，再将剩下的3辆车作为整体插入黑色私家车中间的2个空位中的任1个，有
9、CA种情况，此时不同的停车种数为ACA72；当车位两端一端停白色私家车、一端停黑色私家车时，先排3辆黑色私家车，有A种情况，(i)当红色私家车排在黑色私家车两边时，有CCA种情况，(ii)当红色私家车排在黑色私家车中间时，有C(CACCA)种情况，此时不同的停车种数有ACCAC(CACCA)192(种)综上，不同的停车种数共有2472192288(种)故选B.(方法二)不考虑红色私家车的停靠位置，则3辆黑色私家车只有2辆相邻时，考虑从3辆黑色私家车中选出2辆捆在一起当作一个元素，与另一辆黑色私家车插入由2辆白色私家车、1辆红色私家车的全排列形成的4个空位中，停车种数有CAAA432(种)，而两
10、端停靠红色私家车的种数有CACAA144(种)，所以红色私家车不停在两端，且3辆黑色私家车只有2辆相邻的停车种数有432144288(种)故选B.13(多选题)(2020南京师大附中期中)有四名男生、三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有()A如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C如果女生不能站在两端，那么有1 440种不同排法D如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1 440种不同排法CD解析：A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，作为一个“元素”，此时，共有AA576(种)不同的排法，A选项
11、错误；B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，作为一个“元素”，此时，共有AA6120720(种)不同的排法，B选项错误；C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有AA121201 440(种)不同的排法，C选项正确；D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，此时，共有AA24601 440(种)不同的排法，D选项正确故选CD.14(多选题)(2020赣榆区期中)在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则()A抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有CC种B抽出的3件中
12、恰好有1件是不合格品的抽法有(CCCC)种C抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(CCCC)种D抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(CC)种ACD解析：由题意知，抽出的3件产品恰好有一件不合格品，则抽出的3件产品包括1件不合格品和2件合格品，共有CC种结果，则选项A正确，B不正确；根据题意，“至少有1件不合格品”可分为“有1件不合格品”与“有2件不合格品”两种情况，“有1件不合格品”的抽取方法有CC种，“有2件不合格品”的抽取方法有CC种，则共有(CCCC)种不同的抽取方法，选项C正确；“至少有1件不合格品”的对立事件是“3件都是合格品”，“3件都是合格品”的抽取方法有C种，抽出的3
13、件中至少有1件是不合格品的抽法有(CC)种，选项D正确故选ACD.15(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是()A如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C甲、乙不相邻的排法种数为72D甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种ABCD解析：对于选项A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有A24(种)，故A正确；对于选项B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有AAA42(种)，故B正确；对于选项C，甲、乙不相邻的排法种数为AA72，故C正确；
14、对于选项D，甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20(种)，故D正确故选ABCD.16(2020上饶联考)某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_10解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n2)个间隔中，故有A种恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n3)个停车位排好所成的(n2)个间隔中，故有AA种因为这3辆共享汽车都不相邻的概
15、率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以AAA，解得n10.17已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止(1)若恰在第5次测试才找到第1件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法；再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有A种测试方法；再排余下4件的测试位置，有A种测试方法所以共有AAA103 680(种)不同的测试方法(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有CCA576(种)不同的测试方法