1、第3课时圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题课后篇巩固提升基础巩固1.若直线y=x+m与椭圆x24+y22=1相切,则实数m的值等于()A.6B.6C.3D.4解析由x24+y22=1,y=x+m,消去y得3x2+4mx+2m2-4=0,因此有=-8m2+48=0,解得m=6.答案B2.直线y=2x与双曲线x24-y2=1公共点的个数为()A.0B.1C.2D.4解析双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=12x,焦点在x轴上,由图形知,直线y=2x与该双曲线无公共点.答案A3.过双曲线x2-y2=1的一个顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线围成矩形的面积等于()A.12B.22C.1
2、D.2解析因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为22,所以围成矩形的面积是2222=12.答案A4.F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)是直线x+y-2=0(x2,x1)上的动点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则1k1-3k2的值为()A.2B.32C.-2D.随点P的位置而变化解析由已知得F1(-1,0),F2(1,0),则有k1=yx+1,k2=yx-1,因此1k1-3k2=x+1y-3x-3y=-2x+4y,又因为P(x,y)在直线x+y-2=0上
3、,所以1k1-3k2=-2x+4-x+2=2.答案A5.设椭圆C:x24+y23=1的长轴两端点为M,N,P是椭圆C上任意一点,则PM与PN的斜率之积为.解析M(-2,0),N(2,0),设P(x0,y0),于是kPMkPN=y0x0+2y0x0-2=y02x02-4=34(4-x02)x02-4=-34.答案-346.已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等于.解析椭圆右焦点为(3,0),所以y=x-3,x2+4y2=4,整理得5x2-83x+8=0,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=85.答案857.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0
4、)经过点A(2,1),离心率为22,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N.(1)求椭圆的方程;(2)若|MN|=322,求直线MN的方程.解(1)由题意有4a2+1b2=1,e=ca=22,a2-b2=c2,解得a=6,b=3,c=3,所以椭圆方程为x26+y23=1.(2)由题易知点B(3,0)在椭圆外,又直线MN过点B且与椭圆有两个交点,可知直线MN斜率存在,设直线MN方程为y=k(x-3),代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0,=24-24k20,得k21.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=12k22k2+1,x1x2=18k
5、2-62k2+1,|MN|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)(x1+x2)2-4x1x2=322,解得k=22,满足k2b0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到直线的距离d=bcb2+c2=bca,由d=12c,得a=2b=2a2-c2,解得离心率ca=32.(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2
6、=4b2.依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=10.易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=-4(2k+1)2-4b21+4k2.由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故椭圆E的方程
7、为x212+y23=1.9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为42,其左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),一条不经过原点的直线l:y=kx+m与该椭圆相交于M,N两点(如图).(1)求椭圆C的方程;(2)若m+k=0,直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2.试问:是否存在实数,使得k1+k2=0?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为42,所以2c=42,解得c=22.因为椭圆的左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),所以a=3.又b2=a2-c2=9-8=1,所以椭圆C的方程为x29+y2
8、=1.(2)由m+k=0知直线l过定点D(1,0).设直线A1M的方程为y=k1(x+3),直线NA2的方程为y=k2(x-3).联立方程y=k1(x+3),x29+y2=1,消去y得(1+9k12)x2+54k12x+81k12-9=0,解得点M的坐标为3-27k121+9k12,6k11+9k12.同理,可解得点N的坐标为27k22-31+9k22,-6k21+9k22.由M,D,N三点共线可得6k11+9k123-27k121+9k12-1=-6k21+9k2227k22-31+9k22-1,化简得(k2-2k1)(9k1k2+1)=0.由题设可知k1与k2同号,所以k2=2k1,即k1
9、+-12k2=0,即存在=-12,使得k1+k2=0.能力提升1.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MAMB=0,则k=()A.2B.22C.12D.2解析过点F(2,0)且斜率为k的直线的方程为y=k(x-2),设点A(x1,y1),B(x2,y2),则MAMB=(x1+2,y1-2)(x2+2,y1-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y1-2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.由y=k(x-2),y2=8x,消去y并整理得:k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,x1+x2=4k
10、2+8k2,x1x2=4,消去x并整理得:ky2-8y-16k=0,y1+y2=8k,y1y2=-16.将代入并整理得:k2-4k+4=0,k=2.答案D2.已知F是双曲线x23a2-y2a2=1(a0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则POF的大小不可能是()A.15B.25C.60D.165解析该双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=a3ax,即y=33x,因此两条渐近线的倾斜角分别为30,150,当P在右支上时,POF的取值范围是0,30),当P在左支上时,POF的取值范围是(150,180,因此POF的大小不可能为60.答案C3.抛物线y2=2px(p0)焦点为F,O为坐标
11、原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,MFO的面积为43,则抛物线方程为.解析依题意Fp2,0,所以|MF|=4|OF|=4p2=2p,由抛物线的定义知M点的横坐标为2p-p2=3p2,因此其纵坐标y0满足y02=2p3p2=3p2,故|y0|=3p,而MFO的面积为43,所以12p23p=43,解得p=2,故抛物线方程为y2=8x.答案y2=8x4.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点A(0,-1),且离心率为22.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.解(1)由
12、题设知ca=22,b=1,结合a2=b2+c2,解得a2=2.所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k2),代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1x2=2k(k-2)1+2k2.从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+(2-k)1x1+1x2=2k+(2-k)x1+x2x1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)
13、=2k-2(k-1)=2.5.已知椭圆C:x29+y2b2=1(b0)上的动点P到右焦点距离的最小值为3-22.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l和椭圆C交于M,N两点,A为椭圆的右顶点,AMAN=0,求AMN面积的最大值.解(1)由已知得a=3,a-c=3-22,所以c=22,b=1,故椭圆C的方程为x29+y2=1.(2)设直线AM的方程为y=k(x-3),不妨设k0.因为AMAN=0,则直线AN的方程为y=-1k(x-3).由y=k(x-3),x2+9y2=9,可得(9k2+1)x2-54k2x+81k2-9=0.因为点A(3,0)在直线AM上,设M(x1,y1),所以3x1=81k2-99k2+1,得x1=27k2-39k2+1,所以|AM|=1+k2|3-x1|=1+k269k2+1,同理可得|AN|=1+1k269k2+1=1+k26kk2+9,所以AMN的面积S=12|AM|AN|=12(1+k2)36k(k2+9)(9k2+1)=18k(1+k2)9k4+82k2+9=18k(1+k2)9(k2+1)2+64k2=189(k2+1)k+64k1+k2182964=38,当且仅当64k2=9(k2+1)2,即k=473时等号成立.所以AMN面积的最大值为38.
