1、核心素养测评三十二 简单线性规划(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020台州模拟)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是()A.3B.6C.9D.12【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图:其中A(2,0),C(0,2),由得,即B(2,3),则|AB|=3,ABC中AB边上的高为2,则ABC的面积S=32=3.2.已知实数x,y满足则2x-y()A.有最小值,无最大值B.有最大值,无最小值C.有最小值,也有最大值D.无最小值,也无最大值【解析】选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.设2x-y=z,则y=2x-z,z表示直线在y轴上的截距的
2、相反数.平移直线y=2x-z,可得当直线过点A时z取得最小值,z没有最大值.3.(2020人大附中模拟)已知实数x,y满足则的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1C.1,+)D.【解析】选D.实数x,y满足表示的可行域如图:的几何意义是:可行域内的点与坐标原点的距离,可知P到原点的距离最小,即=.则的取值范围是.4.若点A(-2,1),点B(2,-1)在直线x+ay-1=0的两侧,则a的取值范围是()A.(1,3)B.(-,1)(3,+)C.(-3,-1)D.(-,-3)(-1,+)【解析】选B.因为点A(-2,1),点B(2,-1)在直线x+ay-1=0的两侧,所以(-2+a-1)(2-
3、a-1)0,即(a-3)(1-a)0,得a3或a0)的最小值为 ()A.0B.aC.2a+2D.-2【解析】选D.由实数x,y满足作出可行域如图,化目标函数z=ax+y(a0)为y=-ax+z,由图可知,当直线y=-ax+z过A(0,-2)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2020鹰潭模拟)设变量x,y满足约束条件,则z=x-2y+6的最大值为_.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:由z=x-2y+6得直线l:y=x+3-z,平移直线l,由图像可知当直线l经过点O(0,0)时截距最小,此时z最大,zmax=6.即z的最大值是6.答案:6【
4、变式备选】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为_.【解析】由约束条件作可行域如图,联立解得A(2,3),由图可知,当直线z=x+2y过A时,z有最小值为2+23=8.答案:89.若点M(x,y)(其中x,yZ)为平面区域内的一个动点,已知点A(3,4),O为坐标原点,则的最小值为_.【解析】因为点A坐标为(3,4),点M坐标为(x,y),所以z=3x+4y,作出不等式组表示的平面区域,如图所示,其中可得B(3,1),将直线l:z=3x+4y进行平移,可得当l经过点B时,目标函数z有最小值,z最小值=33+41=13.答案:1310.(2020湖州模拟)已知实数x,y满足实数x,y构
5、成的平面区域的面积等于_,则目标函数z=2x-y的最大值是_.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).由解得B(1,0),由解得A(2,3),同理C(0,1),满足条件的实数x,y构成的平面区域的面积等于:2-11-13=2.由z=2x-y得y=2x-z.平移直线y=2x-z,由图可知当直线y=2x-z经过点B时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,此时z最大.代入目标函数z=2x-y得z=21-0=2.即目标函数z=2x-y的最大值为2.答案:22(15分钟30分)1.(5分)已知平面区域1:x2+y29,2:则点P(x,y)1是P(x,y)2的()A.充分不必要条件B.必要不充
6、分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.平面区域1:x2+y29表示圆以及内部部分;2:的可行域如图三角形区域:则点P(x,y)1是P(x,y)2的必要不充分条件.2.(5分)设变量x,y满足约束条件 则z=|x-3y|的最大值为()A.10B.8C.6D.4【解析】选B.不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示.当平移直线x-3y=0过点A时,m=x-3y取最大值;当平移直线x-3y=0过点C时,m=x-3y取最小值.由题意可得A(-2,-2),C(-2,2),所以mmax=-2-3(-2)=4,mmin=-2-32=-8,所以-8m4,所以|m|8,即zmax=8
7、.3.(5分)定义mina,b=由集合(x,y)|0x2,0y1确定的区域记作,由曲线C:y=minx,-2x+3和x轴围成的封闭区域记作M,向区域内随机投掷12 000个点,则落入区域M的点的个数估计为()A.4 500B.4 000C.3 500D.3 000【解析】选A.试验包含的所有事件对应的集合=(x,y)|0x2,0y1,则S=21=2,满足条件的事件为A=,画出函数的图像,如图所示:根据图像计算所求的概率为P=,所以落入区域M的点的个数为12 000=4 500(个).4.(5分)已知x,y满足约束条件若z=x-ay(a0)的最大值为4,则a=_.【解析】作出不等式组表示的平面区
8、域如图中阴影部分所示,则A(2,0),B(-2,-2).显然直线z=x-ay过A时不能取得最大值4.若直线z=x-ay过点B时取得最大值4,则-2+2a=4,解得a=3,此时,目标函数为z=x-3y,作出直线x-3y=0,平移该直线,当直线经过点B时,截距最小,此时,z的最大值为4,满足条件.答案:3【变式备选】已知变量x,y满足约束条件设z=的最大值和最小值分别是M和m,则M+m=_.【解析】变量x,y满足约束条件可行域如图:A(1,1),B,z=,的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率,令t=,则z=-,因为t,所以4t+24,6,-,所以-,z=的最大值和最小值分别是M=-,m=-,则M+m=-.答案:-5.(10分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示:甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为多少万元?【解析】设每天生产甲产品x吨,乙产品y吨.由题意可得:画出可行域如图:设该企业每天可获得的利润为z万元,则z=3x+4y,联立,解得A(2,3),化z=3x+4y为y=-x+,由图可知,当直线y=-x+过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为32+43=18.即该企业每天可获得的最大利润为18万元.