1、 简单几何体测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1关于棱柱的描述，以下说法正确的是（ ）A底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体B直四棱柱一定是直平行六面体。C正四棱柱一定是正方体。D侧面全为正方形的棱柱为正方体2（文）具有下列哪些性质的三棱锥必定是正三棱锥 （ ）A、顶点在底面射影到底面各顶点距离相等 B、侧面是等腰三角形 C、底面三角形各边与相对的棱垂直 D、底面是等边三角形，且与侧面所成的二面角相等（理）四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是 （ ）A各侧面是正三角形 B底面是正方形C各侧面三角形的顶角为45度
2、 D顶点到底面的射影在底面对角线的交点上3、一个三棱锥如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ）A、至多只能有一个直角三角形 B、至多只能有两个直角三角形 C、可能都是直角三角形 D、都是直角三角形4（文）长方体AC1中，三个的对角线AC=，AD1 =，AB1=，则体对角线AC1的长为 （ ）AB4CD （理）三棱锥P-ABC中， ， ，则三棱锥P-ABC的外接球表面积是 （ ） ABCD5侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 （ ）A B C D6（文）正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R是 AB， AD，B1C1的中点，则过P，Q，R的截面是（ ）A
3、三角形B四边形C五边形D六边形（理）正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R是 AB， AD，B1C1的中点，则过P，Q，R的截面面积与正方体表面积之比为 （ ）ABCD7如图所示，在正方体中，是底面的中心，是的中点。那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ） A B C D8（文）正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是 （ ） A、 B、 C、 D （理）正四棱锥中，异面直线与所成的角的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、 9将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ） AB12a2C18a2D24a2 10PA、PB、PC是以点P引出的三条射线，每两
4、条的夹角都是 ，每两条确定一个平面，则两平面所成的锐二面角的余弦值为 （ ）A、 B、 C、 D、11球O的截面把垂直于截面的直径分为两部分，若截面圆半径为，则球O的体积为（ ） A16 B C D12（文）已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是（ ）A B C D（理）已知球面的两个小圆互相垂直，交线为AB，且球心到两小圆圆心距离分别是6和8，求球心到弦AB中点的距离（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分，请指导答案填在答题卡上）13如果两个球的表面积之比是4：1，那么这两个球的体积之比是 .14 如图，直三棱
5、柱中，上有一动点，则周长的最小值是_ 第14题 第15题 15如图，平面、两两互相垂直，长为的线段AB在、内的射影的长度分别为、a、b，则的最大值为 _ 。16（文）三棱锥的底面边长为、，且三侧棱相等相等，三棱锥的外接球半径长为，求三棱锥体积为_.(理)三棱锥的高长为，底面边长为3、4、5，且三个侧面与底面所成二面角相等，求三棱锥的斜高长为_.三、解答题（本大题共6小题，共计74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱，E是的中点，作于点。 （1）证明 （2）证明18（本小题满分12分）边长为1的正方体中， 分别为的中点。（1
6、）求AE与所成的角；（2）求与平面所成的角的大小。19（本小题满分12分）在矩形ABCD中，E是BC的中点，把分别沿、向上折起，使重合于点P。 （1）证明（2）求异面直线AD与PE间的距离（3）（理）求二面角的大小20（本小题满分12分） （文）将半径为R的四个球，两两相切的放在桌面上，求上面一个球的球心与桌面的距离。 （理）将半径为R的三个大球两两相切，再放入两个半径为r 的小球与这三个大球都相切，此时两小球恰好也相切，求两球半径之比。21（本小题满分12分）如图正三棱柱中，底面边长为2，点分别在棱和上，且，M为线段上的动点。 （1）M在何位置时，面； （2）若面时，判断与位置关系，并求所成
7、角的余弦； 22（本小题满分14分）斜三棱柱中，点D是BC的中点，点O在AD延长线上，且AD=DO，。（1）求到平面的距离；（2）（理）求与平面所成线面角；（3）判断直线是否垂直，并说明理由；参考答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1A.根据定义，可排除B、C、D。2D底面与侧面所成二面角相等，可知顶点在底面射影为底面内心，即为中心，故D正确 A侧面均为等边三角形，可推出为正棱锥，反之，只能推出侧面是全等的等腰三角形，故选A。3C在底面的锐角顶点作底面的垂线构造出来的三棱锥可以各面全部为直角三角形。4C设长方体三条棱为
8、故C将其放置于三条棱长分别为的长方体中，易知三棱锥与该长方体外接球相同，故外接球直径为表面积为。5B底面边长为3，易知底面中心到底面顶点距离为，由勾股定理得到棱锥高为1，体积为。6D如右图可知，其截面为一正六边形，作图依据：公理1A如图，设正方体边长为a截面为边长为的正六边形，故面积之比为7C如右图，取BC中点F，连EF，OEF即为所求，且OEF为RT三角形，设OF=1，则EF=，故OE=，。8D，过底面中心作底面垂线，正棱锥顶点可在垂线上（除中心）任意移动，极端假设法，当顶点无限接近底面中心时候，侧棱长无限接近底面对角线的一半，其比值接近，当顶点无限拉开时，比值接近。故选DD，与上题方法一致
9、，当顶点无限接近底面中心时候，两直线所成的角无限接近，当顶点无限拉开时，两直线所成的角无限接近，故选D9B，大正方体边长为，表面积为，小正方体边长为，则27个正方体表面积为，表面积增大。10B其模型即为正四面体，即求正四面体任意两面所成的二面角，易得B选项。11C设直径AB，过小圆圆心作出小圆半径，则ABD为RT三角形，可求球半径为2，可求体积。12C，设球半径为r，可知正八面体棱长为，可看作两高为r的正四棱锥体积之和。C球心与两小圆圆心及AB弦中点组成矩形，有矩形对角线相等得到其长为10。二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分，请指导答案填在答题卡上）13 8：1 。表面积之比为
10、4：1，得到半径比为2：1，故体积之比为8：1。14 。将面ABCD与展开到同一平面，连线最短，有勾股定理可求。154构造法，构造一长方体体对角线为，它在各面射影分别为三条面对角线，有长方体对角线关系得到，即，得到。16 发现底面为直角三角形且顶点在底面射影为底面外心即底面斜边的中点，外接圆半径为5，由勾股定理棱锥高为4+5=9，故体积求得 3 有侧面与底面成等角，得到顶点在底面射影为底面三角形内心，由面积相等得到，内切圆半径为1，由勾股定理，故斜高为3三、解答题（本大题共6小题，共计74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17解（1）连接，设，连接 O、E分别是PC、AC的中点 PA
11、OE （2），E是的中点 且 由、得到 又 18解：（1）过F作FHAE交AD于四等分点H,连接,则即异面直线AE与所成的角(或补角). 由余弦定理得到,即 （2）连接，设，连接，易证 即与平所成的角。 。19解： （1） （2）取中点F，连PF 可求得 （3）由（2）可知，又 过D做，垂足为，连PG，由三垂线定理可知 即二面角的平面角。 等面积法求得， 20解：（文）将四个球心连线，得到一棱长为的正四面体，求上面球心到桌面距离，就求正四面体的高再加上球半径，已知棱长为，易求得正四面体高，故上面球心到桌面距离 （理）将三个大球球心连线，得到边长为的正三角形，再与上下小球连线，得到两个倒扣的棱锥，其侧棱长为，底面边长为，由于两小圆相切，故棱锥高也为，根据勾股定理得到 化简得到21解：（1）过M作交AF于G，连GE。 当面时，可知，又， 四边形为平行四边形，=1， 故M为AC中点。 （2）由异面直线判定定理可知与为异面直线。由（1）可知即与所成的角（或补角）。 ， 且三角形为直角三角形 22解：（1）（转化法）由图可知，到面距离等于 点C到面，而易证 故点C到面的距离为 （2）与平面所成线面角即与平面所成线面角。 由（1）可知与平面所成线面角即三角形为等腰直角三角形，故 （3）（反证法）假设 则，又 平面 又平面 得到，显然不成立， 故