1、练案58理练案54文第九讲圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系A组基础巩固一、选择题1(此题为更换后新题)若直线ykx2与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是(D)Am1Bm0C0m0且m7，综上知m的取值范围是m4且m7.1(此题为发现的重题，更换新题见上题)若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是(D)Am1Bm0C0m0且m5，综上知m的取值范围是m1且m5.2(2021湖南五十十校联考)已知直线l：xy10，圆C：(x1)2(y2)28，则圆C上到直线l的距离为的点共有(C)A1个B2个C3个D4个解析圆心C(1,2)到直线l：xy10的距离为，又圆的半径为2，数
2、形结合可知，圆C上到直线l的距离为的点共有3个，故选C3(2021湖北武汉部分学校质检)过抛物线E：y22x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|(C)A2BC3D4解析设A、B两点的横坐标分别为x1，x2，故|AB|x1x2p213，故选C4已知直线ykx1与双曲线x21交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值为(B)AB或CD解析由直线与双曲线交于A，B两点，得k2.将ykx1代入x21，得(4k2)x22kx50，则4k24(4k2)50，k2b0)，由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以c1.又离心率e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为1，故选
3、A6(2021重庆名校联盟调研抽测)过抛物线y22x上一点A(2,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC，分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的斜率为(D)ABCD解析依题意，可设直线AB的方程为y2k(x2)，则直线AC的方程为y2k(x2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)(y12，y22)由得y1.同理，得y2.所以直线BC的斜率为.故选D7(2021山东聊城二模，6)已知直线l与抛物线C：y24x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(D)Ayx1By2x5Cyx3Dy2x3解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有得yy4(x1x2)，由题可知x1x2，
4、2，即kAB2，直线l的方程为y12(x2)，即2xy30.故选D8(2021广东深圳调研)设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2F1F2，则椭圆C的离心率为(C)ABCD解析设M(c，y0)，则MF1的中点为N，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合，ABBF1kABkBF111.故b2aca2c2ace2e10，e，选C9(2021吉林长春质检)已知抛物线y22px(p0)，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点(点A在第一象限)，且4，则直线l的倾斜角为(C)ABCD解析如图，过A
5、，B作AA，BB垂直准线x，垂足为A，B，过B作AA垂线，垂足为C，由抛物线定义知|BF|BB|，|AF|AA|，3|BF|AF|，2|BF|AC|，所以cosBAC，BAC，所以直线l倾斜角为，故选C10过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则下列不满足条件的直线l为(B)AxBx2y10Cxy0Dxy0解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x，由得y2，|AB|y1y2|4满足题意当直线l的斜率存在时，其方程为yk(x)，由得(2k2)x22k2x3k2 20.当2k20时，不符合题意，当2k20时，x1x2，x1x2，|A
6、B|4.解得k，故选B二、填空题11(2021大同质检)已知抛物线y216x的准线过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是1.解析抛物线y216x的准线x4过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，c4.又双曲线的一条渐近线方程为yx，可得ba，又c4，a2，b2，所求双曲线的标准方程为1.12(2021上海一模冲刺)已知抛物线yax2(a0)的准线为l，l与双曲线y21的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AB|4，则a.解析由抛物线yax2(a0)，所以抛物线的准线方程为y，由双曲线y21，则渐近线为yx，因为|AB|4，由双曲线的对称性可
7、知y与yx的交点为，把交点代入yx可得，所以a.13(2021长沙调研)过点(0,3)的直线l与抛物线y24x只有一个公共点，则直线l的方程为yx3或y3或x0.解析当直线l的斜率k存在且k0时，由相切知直线l的方程为yx3；当k0时，直线l的方程为y3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点(0,0)，此时直线l的方程为x0.综上，过点(0,3)且与抛物线y24x只有一个公共点的直线l的方程为yx3或y3或x0.三、解答题14(2021黑龙江哈尔滨模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过C上一点P(1，t)(t0)作两条倾斜角
8、互补的直线分别与C交于M，N两点，(1)证明：直线MN的斜率是1；(2)若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程解析(1)P在抛物线y24x上，t2，P(1,2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题可知，kMPkNP0，0，0，0，y1y24，kMN1.(2)由(1)问可设：l：yxm，则|MN|，|MF|x11，|NF|x21，|MN|28|MF|NF|，()28(x11)(x21)，即(x1x2)28x1x24(x1x2)40(*)，将直线l与抛物线C联立，可得：x2(2m4)xm20，所以，代入(*)式，可得m1满足0，l：yx1.15(2021江西南昌摸底)已
9、知椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率为，以F1为圆心以1为半径的圆与以F2为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆上顶点A斜率为k的直线l与椭圆的另外一个交点为B，若ABF2的面积为，求直线l的方程解析(1)设椭圆方程为1(ab0)，由两圆交点在椭圆上，2a134，得a2，由离心率为，得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)因为点A的坐标为(0,1)，所以直线l的方程为ykx1，代入椭圆方程得到：(kx1)21(4k21)x8kx0，因为xA0，所以xB，yB，又因为直线l与x轴的交点坐标为，点F2的坐标为(，0)，所以，解得k或k
10、，所以，直线l的方程为yx1或yx1.B组能力提升1(2018课标卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|(B)AB3C2D4解析由双曲线C：y21可知其渐近线方程为yx，MOx30，MON60，不妨设OMN90，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|b1，又知|OF|c2，|OM|，则在RtOMN中，|MN|OM|tanMON3.故选B2设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(D)A(1,3
11、)B(1,4)C(2,3)D(2,4)解析显然0r0、k4(y00)，即r2.另一方面，由AB的中点为M，知B(6x1,2y0y1)，(2y0y1)24(6x1)，又y4x1，y2y0y12y120.4y4(2y12)0，即y12.r2(35)2y4y16，r0)的焦点为F，抛物线C与圆C：x2(y)23交于M，N两点，若|MN|，则MNF的面积为(B)ABCD解析作出图形如下图所示，由题意知|AM|2.因为点N为圆C圆周上一点，所以ANM90，则在RtANM中，由|AM|2，|MN|，得|AN|，AMN45，所以N(，)代入y22px中，解得p，故MNF的面积为.4(2020天津)已知椭圆1
12、(ab0)的一个顶点为A(0，3)，右焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程解析(1)由已知可得b3.记半焦距为c，由|OF|OA|可得cb3.又由a2b2c2，可得a218.所以，椭圆的方程为1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以ABCP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为ykx3.由方程组消去y，可得(2k21)x212kx0，解得x0或x.依题意，可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点，点A的坐标
13、为(0，3)，所以点P的坐标为.由3，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为.又因为ABCP，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1.所以，直线AB的方程为yx3或yx3.5(2020广东佛山质检)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点(2,1)(1)求椭圆C的方程；(2)过坐标原点的直线与椭圆交于M，N两点，过点M作圆x2y22的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明：|PM|PN|.解析(1)设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为，且过点(2,1)所以，1，又a2b2c2，解得a26，b23，所以椭圆C的方程为：1.(2)当直线PM的斜率不存在时，依题意，可得直线PM的方程为x或x.若直线PM：x，直线MNyx，可得M(，)，N(，)，P(，)，则|PM|2，|PN|2，所以|PM|PN|；若直线PM：x，由对称性，同理可得|PM|PN|，当直线PM斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm，直线PM与圆x2y22相切，圆心O到直线PM的距离为，即|m|，设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(x1，y1)，联立，消元y，整理得(12k2)x24kmx2m260，则x1x2，x1x2.|PM|x1x2|PN|，y1y2k(x1x2)2mk2m，|PN|.|m|，|PN|PM|.综上可知|PM|PN|成立