1、阶段提升课 第三课 平 面 向 量 思维导图构建网络 考点整合素养提升 题组训练一 平面向量的线性运算及其应用 1.对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义mn=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=ab,那么向量b等于()44A.(2)B.(2)5544C.(2)D.(2)55，2.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若 其中 ,R,求+的值.ACAEAF，【方法技巧】(1)向量的线性运算主要是运用它们的运算法则、运算律,解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题,而理解相关概念,用基底或用坐标表示向量是基础.(2)向量是一个
2、有“形”的几何量,因此在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析判断求解,特别是平行四边形法则和三角形法则的应用.题组训练二 平面向量数量积的运算 1.已知a=(2,-1),a+2b=(6,3),若bc=14,|c|=5,则向量c的坐标为_.【解析】因为2b=(a+2b)-a=(6,3)-(2,-1)=(4,4),所以b=(2,2).设c=(x,y),则由题可知 解得 所以c=(3,4)或c=(4,3).答案:(3,4)或(4,3)22(2 2)(xy)14xy5，x3x4y4y3，或，2.已知|a|=1,|b|=.(1)若ab,求ab.(2)若a,b的夹角为60,求|a+b|.(3)若(
3、2a-b)b,求a与b的夹角.2【方法技巧】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.题组训练三 平面向量的平行与垂直 1.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则ABC的形状是()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形【解析】选A.因为 =(8,-4),=(2,4),所以 =82+(-4)4=0,所以 ,所以BA
4、C=90,故ABC是直角三角形.ABACABACABAC2.已知向量 与 的夹角为120,且|=3,|=2.若 且 则实数 的值为_.【解析】由 知 =0,即 =()()=(-1)=(-1)32 -9+4=0,解得=.答案:ABACABACAPAB AC，APBC，APBCAP BCAP BCAB ACACAB22AB ACABAC1()2712712【方法技巧】1.证明共线问题常用的方法(1)向量a,b(a0)共线存在唯一实数,使b=a.(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线x1y2-x2y1=0.(3)向量a与b共线存在不全为零的实数 1,2,使 1a+2b=0.2.证明平面
5、向量垂直问题的常用方法 abab=0 x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量.题组训练四 平面向量的模、夹角 1.设|a|=|b|=1,|3a-2b|=3,则|3a+b|的值为_.2.已知平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:(1)|2|.(2)与 夹角的余弦值.(3)与 垂直的单位向量的坐标.AB ACABACBC【方法技巧】1.夹角问题 求向量a,b夹角 的步骤:(1)求|a|,|b|,ab;(2)求cos =(夹角公式);(3)结合 的范围0,确定 的大小.因此求向量的夹角先转化为求向量夹 角的余弦值,再结合夹角的范围确定
6、夹角的大小.a ba b2.有关向量的模长问题(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=(2)若向量a无坐标,则利用平方法,即|a|2=a2;|ab|2=a22ab+b2.22xy.题组训练五 平面向量在几何和物理方面的应用 1.点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(速度单位:m/s,长度单位:m)()A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)【解析】选C.5秒后点P的坐标为(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).2.如图所示,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,四边形PECF是矩形,求证:(1)PA=EF.(2)PAEF.【方法技巧】(1)向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则,数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切,因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.(2)利用平面向量解决几何问题的关键是恰当地引入向量,通过向量运算,解释几何性质.(3)物理应用:速度、位移、力、功.