1、7.1.2平面直角坐标系认识平面直角坐标系,了解点的坐标的意义,会用坐标表示点,能画出点的坐标位置.渗透对应关系,提高学生的数感.体验数、符号是对描述现实生活的重要手段.【重点】平面直角坐标系和点的坐标.【难点】根据点的位置写出点的坐标,根据点的坐标描出点的位置.【教师准备】教材图7.1-3,7.1-4,7.1-5,7.1-6的投影图片.【学生准备】复习有序数对的定义和表示方法.导入一:如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.例如,点A在数轴上的坐标为-4,点B在数轴上的坐标为2.反过来,知道数轴上一个点的坐标,这个点在数轴上
2、的位置也就确定了.例如,数轴上坐标为5的点是点C.导入二:数学家笛卡儿潜心研究能否用代数中的计算来代替几何中的证明.有一天,在梦中他用金钥匙打开了数学宫殿的大门,遍地的珠子光彩夺目,他看见窗框角上有一只蜘蛛正忙着结网,顺着吐出的丝在空中飘动,一个念头闪过脑际:眼前这一条条的横线和竖线不正是自己全力研究的直线和曲线吗?由此笛卡儿发明了直角坐标系,你是不是很想知道什么是直角坐标系呢?就让我们一起进入本节课的学习吧!过渡语数轴上的点是与实数一一对应的,但这种对应有个弊端,就是无法准确确定点的位置.直角坐标系就很好地解决了这个问题.1.建立直角坐标系.出示教材图7.1-3,回答问题:(1)你如何表示A
3、,B,C,D这四个点的位置?(2)用一条数轴能否表示这四个点的位置?(3)用两个原点互相重合、垂直的数轴,能表示这四个点的位置吗?活动方式:学生交流、讨论、动手操作.问题预设:第(1)问学生可能会想到用上个课时的“有序数对”的知识进行说明,采取横纵标上数字的办法.对于学生的这种做法要给予积极的肯定,鼓励学生再去尝试其他的方法.第(2)问,从A,B,C,D这四个点的位置看都不在同一条直线上,用一个数轴只能表示出两个点的位置.第(3)问首先介绍了利用两条数轴的方法,也就是原点重合、互相垂直,这也是直角坐标系建立的基本条件.两个这样的坐标轴放到图7.1-3上,注意相应的横线和竖线分别与坐标轴重合,这
4、样就可以读出A,B,C,D四个点的坐标.2.平面直角坐标系的相关概念.(1)建立直角坐标系.在平面内,两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,如图所示.水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵轴,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.(2)平面直角坐标系的点.把直角坐标系如下图建立起来,就可以读出A,B,C,D四个点的坐标.问题1:由点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是4,我们说点A的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对(3,4)就叫做点A的坐标,记作A(3,4).类似地,请你写出点B,C,D的坐标:B(,),C(,),D(,).处理方式:
5、学生交流讨论完成,老师巡视指导.问题2:原点O的坐标是什么?x轴和y轴上的点的坐标有什么特点?提示:原点O的坐标为(0,0);x轴上的点的纵坐标为0,例如(1,0),(-1,0),;y轴上的点的横坐标为0,例如(0,1),(0,-1),.(3)平面直角坐标系的象限.问题:什么是象限?坐标原点属于哪个象限?提示:建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成,四个部分(图7.1-5),每个部分称为象限,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.3.例题讲解.(补充)如图所示,其中所画的平面直角坐标系符合要求的是()解析A选项中x轴与y轴不互相垂直,故此选项
6、不正确,B选项中两数轴的交点不对,故B选项也不正确;D选项中没有标明坐标原点及x轴与y轴,故也排除.故选C.(教材例题)在平面直角坐标系中描出下列各点:A(4,5),B(-2,3),C(-4,-1),D(2.5,-2),E(0,-4).解:先在x轴上找出表示4的点,再在y轴上找出表示5的点,过这两个点分别作x轴和y轴的垂线,垂线的交点就是点A.类似地,在图上描出点B,C,D,E.4.坐标平面内的点与有序实数对的一一对应.数轴上的点与实数是一一对应的.坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的吗?对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数(x,y)(即点M的坐标)和它对应;反过来,对于任意一
7、对有序实数(x,y),在坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.知识拓展(1)求点的坐标时,横坐标要写在前面,纵坐标写在后面,中间用逗号隔开,再把它们括起来.(2)坐标轴上点的坐标:x轴上到原点的距离为|a|的点的坐标为(a,0),y轴上到原点的距离为|b|的点的坐标为(0,b).可类比数轴上的点与实数的关系来研究.(3)建立直角坐标系的方法不同,同一个点在不同的直角坐标系中的坐标是不同的.1.平面直角坐标系的相关概念:横轴、纵轴、原点、象限.2.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.1.点(-2,1)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:点(-2,1)的横坐
8、标在x轴的负半轴上,纵坐标在y的正半轴上,所以点(-2,1)在第二象限.故选B.2.在平面直角坐标系中,点P(-3,4)到x轴的距离为()A.3B.-3C.4D.-4解析:点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值,到y轴的距离为点的横坐标的绝对值.因为|4|=4,所以点P(-3,4)到x轴距离为4.故选C.3.如图所示,点A关于y轴的对称点的坐标是.解析:首先根据平面直角坐标系可知点A的坐标为(-5,3),再由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标相等,可得点A关于y轴的对称点的坐标是(5,3).故填(5,3).4.如图所示,根据坐标平面内点的位置,分别写出图中点A,B
9、,E的坐标.解:点的坐标分别为:A(2,4),B(1,3),E(3,3).7.2.2平面直角坐标系1.建立直角坐标系2.平面直角坐标系的相关概念3.例题讲解例1例24.坐标平面内的点与有序实数对的一一对应一、教材作业【必做题】教材第68页练习第1,2题.【选做题】教材第68页习题7.1第14题.二、课后作业【基础巩固】1.有以下三个说法:坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的;除了平面直角坐标系,我们也可以用方向和距离来确定物体的位置;平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限.其中错误的是()A.只有B.只有C.只有D.2.在平面直角坐标系中,位于第三象限的点是()A.(0,-1)B.(1,-2
10、)C.(-1,-2)D.(-1,2)3.若点A(2,n)在x轴上,则点B(n-2,n+1)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2014张家界中考)若点A(m+2,3)与点B(-4,n+5)关于y轴对称,则m+n=.5.如果点A的坐标为(-a2-3,b2+3),那么点A在第几象限?说说你的理由.【能力提升】6.若点P(x,y)满足xy=0,则点P在()A.原点处B.四个象限中的某一个C.y轴上D.x轴上或y轴上或原点处7.若点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数,则点P一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.点A在y轴的左侧,到x轴,y轴的距
11、离分别是2和3,则点A的坐标是()A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)或(-3,2)D.(-3,2)或(-3,-2)9.已知点P在第四象限,它的横坐标与纵坐标的和为-3,则点P的坐标是.(写出符合条件的一个点即可)10.如图所示,平面直角坐标系中,已知点A(-3,-2),B(0,3),C(-3,2),求ABC的面积.【拓展探究】11.如图所示,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),按这样的运动规律,经过2015次运动后,动点P的坐标是.12.如图所示.(1)写出五边形ABCDEF的
12、顶点A,B,C,D,E,F的坐标;(2)C,E两点的坐标有什么特征?(3)直线CE与两条坐标轴有怎样的位置关系?【答案与解析】1.C(解析:说法正确,说法错误,因为平面直角坐标系把坐标平面分成四个部分,即把坐标平面分为四个不同象限,而在坐标轴上的点是不属于任何象限的.故选C.)2.C(解析:因为第三象限点的坐标特点是横纵坐标均为负数,所以只有选项C符合条件.故选C.)3.B(解析:由于点A(2,n)在x轴上,则n=0,那么点B的坐标为(-2,1),所以点B在第二象限.故选B.)4.0(解析:因为点A(m+2,3)与点B(-4,n+5)关于y轴对称,所以m+2=4,3=n+5,解得m=2,n=-
13、2,所以m+n=0,故答案为0.)5.解:因为-a20,所以-a2-3-3,而b20,所以b2+33,即点A的横坐标一定小于零,而纵坐标一定大于零,所以点A一定在第二象限.6.D(解析:由xy=0可知x=0或y=0或x=y=0,所以该点位于x轴上或y轴上或原点处.)7.D(解析:因为点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数,所以m=-(1-2m),解得m=1,即1-2m=-1,所以点P的坐标是(1,-1),所以点P在第四象限.故选D.)8.D(解析:因为点A在y轴的左侧,所以该点位于第二或第四象限,又因为该点到x轴,y轴的距离分别是2和3,所以其坐标为(-3,2)或(-3,-2).)9.答案不唯一,如(1,-4)(解析:点P在第四象限,横坐标大于0,纵坐标小于0.先确定一个坐标的值,进而根据和为-3求解.设点P的坐标是(x,y),则x0,y0.(2)C,D为第二、四象限内的点,坐标满足xy0,b0第二象限(-,+)a0第三象限(-,-)a0,b0,b0,b=0负半轴(-,0)a0负半轴(0,-)a=0,b0,则点P在第几象限?错解因为xy0,所以x0,y0,所以点P在第一象限.易错辨析产生错解的原因在于考虑问题不全面.xy0时还有一种情况,x0,y0,所以x与y同号.当x0,y0时,点P在第一象限,当x0,y0时,点P在第三象限.