1、3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标知识点一空间向量基本定理思考只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直梳理空间向量基本定理(1)定理内容：条件：三个向量e1，e2，e3不共面结论：对空间中任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使pxe1ye2ze3.(2)基底：定义在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间
2、不共面的三个向量，则把e1，e2，e3称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示(3)推论：条件：O，A，B，C是不共面的四点结论：对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得xyz.知识点二空间向量的坐标表示思考若向量(x1，y1，z1)，则点B的坐标一定为(x1，y1，z1)吗？答案不一定由向量的坐标表示知，若向量的起点A与原点重合，则B点的坐标为(x1，y1，z1)，若向量的起点A不
3、与原点重合，则B点的坐标就不为(x1，y1，z1)梳理(1)空间向量的坐标表示：向量a的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使axiyjzk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a(x，y，z)向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间任意一点A(x，y，z)，向量是确定的，即(x，y，z)(2)空间中有向线段的坐标表示：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，坐标表示：(x2x1，y2y1，z2z1
4、)语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示：设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则：运算表示方法加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)(R)(4)空间向量平行的坐标表示：若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，且a0，则abb1a1，b2a2，b3a3(R)1若a，b，c为空间的一个基底，则a，b,2c也可构成空间的一个基底()2若向量的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)()3在空间直角坐标系Oxyz中向量的坐标
5、就是B点坐标减去A点坐标()类型一空间向量基本定理及应用例1已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底解假设，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使xy成立所以e12e2e3x(3e1e22e3)y(3xy)e1(xy)e2e3.得解得故，共面，不可以构成空间的一个基底反思与感悟基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设abc，运用空
6、间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底跟踪训练1以下四个命题中正确的是_(填序号)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底答案解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故不正确；正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确例2如图，在空间四边形OABC中，点D是边BC的
7、中点，点G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，试用向量a，b，c表示向量和.解因为()，又点D为BC的中点，所以()，所以()()()(abc)而，又因为()(bc)，所以(bc)(abc)a.所以(abc)，a.引申探究若将本例中的“G是ABC的重心”改为“G是AD的中点”，其他条件不变，应如何表示，？解()()abc.()(bc)所以(bc)abc.反思与感悟用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键跟踪训练2如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量(1
8、)；(2)；(3)；(4).解连结AC，AD.(1)()()(abc)(2)()(a2bc)abc.(3)()()()abc.(4)()()abc.类型二空间向量的坐标表示例3如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E，F，G分别为棱DD，DC，BC的中点，以，为基底，求下列向量的坐标(1)，；(2)，.解(1)，.(2)，.引申探究本例中，若以，为基底，试写出，的坐标解，.反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1.求向量的坐标解PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，是两两垂直的单位向量设e
9、1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz.()()e2e3，.类型三空间向量的坐标运算及应用例4已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)(1)求，；(2)是否存在实数x，y，使得xy成立，若存在，求x，y的值；若不存在，请说明理由解(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)(1,1,0)(1,0,2)(0,1,2)(1,1,0)(1,0,2)(2,1，2)(2)假设存在x，yR满足条件，由已知可得(2，1,2)由题意得(1,0,2)x(1,1,0)y(2，1,2)，所以(1,0,2)(x2y，x
10、y,2y)，所以所以所以存在实数x1，y1使得结论成立反思与感悟1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标2进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质跟踪训练4已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，1,2)，B(1,2，1)，C(1,1，3)，D(3，5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形证明(1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，(3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)，与共线，即ABCD，又(3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，(1,1，3)(1,2，1)(2
11、，1，2)，与不平行四边形ABCD为梯形1已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是_答案(12,14,10)解析设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)2已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b_.答案(2，4,2)解析依题意，得ba(1,2，1)a(1，2,1)2(1，2,1)(2，4,2)3已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b_.答案(8,0,4)解析4a2b4(3，2,1)2(2,4,
12、0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4)4.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系已知ABAD2，BB11，则的坐标为_，的坐标为_答案(0,2,1)(2,2,1)解析根据已建立的空间直角坐标系知，A(0,0,0)，C1(2，2,1)，D1(0,2,1)，则的坐标为(0,2,1)，的坐标为(2,2,1)5在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.(用a，b，c表示)答案abc解析()()abc.1用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基
13、向量表示2用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内一、填空题1有下列三个命题：三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；若a，b是两个不共线的向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底其中为真命题的是_(填序号)答案解析正确作为基底的向量必须不共面；正确；不正确a，b不共线，当cab时，a，b，c共面，故只有正确2若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)
14、，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则顶点D的坐标为_答案(5,13，3)解析由四边形ABCD是平行四边形知，设D(x，y，z)，则(x4，y1，z3)，(1,12，6)，所以解得即D点坐标为(5,13，3)3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为_，的坐标为_，的坐标为_.答案(1,0,0)(1,0,1)(1,1，1)解析由题图可知，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B1(1,0,1)，所以(1,0,0)，(1,0,1)，(1,1，1)4已知a(3,5,7)，b(6，x，y)，若ab，则xy的
15、值为_答案140解析显然x0，y0.因为ab，所以，即x10，y14，所以xy140.5若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dabc，则，的值分别为_答案，1，解析d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3e12e23e3，6若A(m1，n1,3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3,9)三点共线，则mn_.答案0解析因为(m1,1，m2n3)，(2，2,6)，由题意得，所以，所以m0，n0，所以mn0.7已知A(2,3，1v)关于x轴的对称点是A(，7，6)，则，v的值分别为_答案2,10,7解析A与A关于x轴对称，8已知
16、向量a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若a与b为共线向量，则x_，y_.考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案解析a(2x,1,3)与b(1，2y,9)共线，(y0)，x，y.9已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若，则C的坐标是_考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案解析设点C的坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)又(3，2，4)，x，y，z.10.如图，点M为OA的中点，以，为基底，xyz，则实数组(x，y，z)_.答案解析因为0，所以实数组(x，y，z).11.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间任一点，设a，b，c，则向
17、量_.(用a，b，c表示)答案abc解析2，2()，ba2(c)，abc.二、解答题12已知向量p在基底a，b，c下的坐标是(2,3，1)，求p在基底a，ab，abc下的坐标解由已知p2a3bc，设pxay(ab)z(abc)(xyz)a(yz)bzc，则有解得故p在基底a，ab，abc下的坐标为(1,4，1)13已知O，A，B，C四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求分别满足下列条件的P点坐标：(1)()；(2)()解(2,6，3)，(4,3,1)(1)设P点坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)，()，所以，即P点坐标为.(2)设P点坐标为(x，
18、y，z)，则(x2，y1，z2)，由(1)知()，所以解得所以P点坐标为.三、探究与拓展14已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p2ab，qab构成空间的另一个基底的是_(填序号)2a；b；c；ac.答案解析p2ab，qab，p与q共面，a，b共面而c与a，b不共面，c与p，q可以构成另一个基底，同理ac与p，q也可构成一组基底15在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，的坐标解分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则A，A1，B1，C1，所以(0,0,2)，.
