1、单元评估检测(五)(第九章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,则a为()A.2B.2或-2C.-2D.-【解析】选B.由直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,可得=,解得a=2.2.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为()A.0B.1C.2D.0或1【解析】选C.因为直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,所以2,所以m2+n24,所以+0,b0)的渐近线与抛物线y=x2
2、+2相切,则该双曲线的离心率等于()A.B.2C.D.3【解析】选D.双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,由方程组,消去y,得x2-x+2=0有唯一解,所以=-8=0,所以=2,e=3.5.已知椭圆+=1(0b0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1,A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线,以下四个结论中正确的结论为()A.当m=-1时,曲线C是一个圆B.当m=-2时,曲线C的离心率为C.当m=2时,曲线C的渐近线方程为y=xD.当m(-,-1)(0,+)时,曲线C的焦点坐标分别为和【解析】选ABD.设动点为M(x,y),当x0时,由条件可得=m,即y2-mx2=a2(x0)
3、,又A1(0,-a),A2(0,a)的坐标满足y2-mx2=a2.所以当m=-1时,曲线C的方程为y2+x2=a2,C是圆心在原点的圆,故A正确;当m=-2时,曲线C的方程为+=1,C是焦点在y轴上的椭圆,c=a,离心率为,故B正确;当m=2时,曲线C的方程为-=1,表示焦点在y轴上的双曲线,其渐近线方程为y=x=x,故C错误;当m(-,-1)时,曲线C的方程为+=1,表示焦点在y轴上的椭圆,由c=a,可知焦点坐标分别为和;当m(0,+)时,C是焦点在y轴上的双曲线,方程为-=1,由c=a,可知焦点坐标分别为和,故D正确.11.已知点P是双曲线E:-=1的右支上一点,F1,F2为双曲线E的左、
4、右焦点,PF1F2的面积为20,则下列说法正确的为()A.点P的横坐标为B.PF1F2的周长为C.F1PF2小于D.PF1F2的内切圆半径为【解析】选ABCD.设F1PF2的内心为I,连接IP,IF1,IF2,双曲线E:-=1中a=4,b=3,c=5,不妨设P(m,n),m0,n0,由PF1F2的面积为20,可得|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4,由-=1,可得m=,故A正确;由P,且F1(-5,0),F2(5,0),可得=,=,则tanF1PF2=(0,),则F1PF2b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且=0.双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双
5、曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若F1PF2=,则正确的是 ()A.=2B.e1e2=C.+=D.-=1【解析】选BD.如图所示,设双曲线的标准方程为-=1(a1,b10),半焦距为c.因为椭圆C1的上顶点为M,且=0.所以F1MF2=,所以b=c,所以a2=2c2.所以e1=.不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n.所以m+n=2a,m-n=2a1.所以mn=a2-.在PF1F2中,由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos=(m+n)2-3mn=4a2-3(a2-).所以4c2=a2+3.两边同除以c2,得4=+,解得e2=.所以e1e2=,-=
6、1,=,+=2.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=6,P为C的准线上一点,则ABP的面积为_.【解析】设抛物线C的方程为y2=2px,则|AB|=2p=6,所以p=3,所以SABP=|AB|p=9.答案:914.已知圆C经过坐标原点和点(4,0),若直线y=1与圆C相切,则圆C的方程是_.【解析】设圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,因为圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,所以解得a=2,b=-,r=,所求圆的方程为:(x-2)2+=.答案:(x-2
7、)2+=15.已知焦点在x轴上的椭圆+=1,点P在椭圆上,过点P作两条直线与椭圆分别交于A,B两点,若椭圆的右焦点F恰是PAB的重心,则直线AB的方程为_.世纪金榜导学号【解析】将点P代入椭圆的方程可得b2=16,所以椭圆的方程为+=1,c2=25-16=9,F(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,由由A,B在椭圆上可得+k=0k=,又AB的中点坐标为,所求的直线方程为20x-15y-68=0.答案:20x-15y-68=016.(2020山东新高考模拟)直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=_,+=_.(本题第一
8、空2分,第二空3分.)【解析】由题意知=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.方法一:将x=1代入,解得|AF|=|BF|=2,从而+=1.方法二:设AB的方程为y=k(x-1),联立整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则从而+=+=1.方法三:利用书中结论:+=1,即可得出结果.答案:21四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l:y=x+m(mR)与直线l关于x轴对称.(1)若直线l与圆(x-2)2+y2=8相切于点P,求m的值和P点的坐标.(2)直线l过抛物线C:x2
9、=4y的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,求|AB|的值.【解析】(1)由点到直线的距离公式得:d=2,解得m=2或m=-6,当m=2时P(0,2),当m=-6时P(4,-2).(2)因为直线的方程为y=x+m,所以l的方程为y=-x-m,焦点(0,1),m=-1,将直线y=-x+1代入抛物线x2=4y,整理得x2+4x-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=-(x1+x2)+2=6,|AB|=y1+y2+2=8.18.(12分)已知圆G:x2+y2-2x-y=0经过椭圆+=1(ab0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(ma)作倾斜角为的直
10、线l交椭圆于C,D两点.(1)求椭圆的方程.(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.【解析】(1)因为圆G:x2+y2-2x-y=0经过点F,B,所以F(2,0),B(0,),所以c=2,b=,所以a2=b2+c2=6,椭圆的方程为+=1.(2)由题意知直线l的方程为y=-(x-m),m,由消去y,整理得2x2-2mx+m2-6=0.由=4m2-8(m2-6)0,解得-2m,所以m2.设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=m,x1x2=,所以y1y2=x1x2-(x1+x2)+.所以=(x1-2,y1)(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2
11、=x1x2-(x1+x2)+4=.因为点F在圆E内部,所以0,即0,解得0m3.又m2,所以mb0)的左右顶点,直线BP交C于点Q,ABP是等腰直角三角形,且=.(1)求C的方程.(2)设过点P的动直线l与C相交于M,N两点,O为坐标原点.当MON为直角时,求直线l的斜率.【解析】(1)由题意知,a=2,B(2,0),设Q(x0,y0),由=,得x0=,y0=,代入椭圆方程,解得b2=1. 所以椭圆方程为+y2=1. (2)由题意可知,直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+2,M(x1,y1),N(x2,y2),则整理得:(1+4k2)x2+16kx+12=0, 由直线l与C有两个不同的交点
12、,则0,即(16k)2-412(1+4k2)0,解得k2. 由根与系数的关系可知:x1+x2=-,x1x2=. 当MON为直角时,kOMkON=-1,即x1x2+y1y2=0,则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)+2k+4=0,解得k2=4,即k=2.综上可知直线l的斜率k=2时,MON为直角.20.(12分)已知抛物线y2=ax的焦点为F(1,0)(如图),A(x1,y1)、B(1,y2)、C(x3,y3)(0y1y2b0)的短轴长为4,离心率为.世纪金榜导学号(1)求椭圆C的标准方程.(2)设椭圆C的左,右
13、焦点分别为F1,F2左,右顶点分别为A,B,点M,N为椭圆C上位于x轴上方的两点,且F1MF2N,记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若3k1+2k2=0,求直线F1M的方程.【解析】(1)由题意,得2b=4,=.又a2-c2=b2,所以a=3,b=2,c=1. 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)由(1),可知A(-3,0),B(3,0),F1(-1,0),F2(1,0).据题意,设直线F1M的方程为x=my-1,记直线F1M与椭圆的另一交点为M,设M(x1,y1)(y10),M(x2,y2).因为F1MF2N,根据对称性,得N(-x2,-y2).联立消去x,得(8m2+9)y2-16
14、my-64=0,其判别式0,所以y1+y2=,y1y2=-,由3k1+2k2=0,得+=0,即5my1y2+6y1+4y2=0.由,解得y1=,y2=,因为y10,所以m0.所以y1y2=.所以m=.所以直线F1M的方程为x=y-1,即2x-y+2=0.22.(12分)椭圆C:+=1(ab0)的焦距是8,长轴长是短轴长的3倍,任作斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点(如图所示),且点P(3,)在直线l的左上方.(1)求椭圆C的方程.(2)若|AB|=2,求PAB的面积.(3)证明:PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.【解析】(1)由题意可得2c=8,即c=4,又a=3b,a2-b2=c2=32
15、,所以a=6,b=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+t,代入椭圆方程可得2x2+6tx+9t2-36=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-3t,x1x2=,所以|AB|=2,解得t=2或-2.由题意可知t0,故直线AB的方程为y=x-2,即x-3y-6=0,所以P(3,)到直线AB的距离d=.所以PAB的面积为S=|AB|d=2=6.(3)设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程可得2x2+6mx+9m2-36=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-3m,x1x2=,所以kPA+kPB=+=,因为(y1-)(x2-3)+(y2-)(x1-3)=(x2-3)+(x1-3)=x1x2+(m-2)(x1+x2)-6m+12=-(m-2)3m-6m+12=0,所以kPA+kPB=0,所以APB的平分线平行于y轴,所以PAB的内切圆圆心在定直线x=3上.