1、陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A. B. C. D. 与斜交【答案】B【解析】【分析】由的方向向量 ，平面的法向量 可得，从而得解.【详解】 ， ，即.故选：B【点睛】本题考查利用直线的方向向量与平面的法向量关系判断线面位置关系.属于基础题.2. 已知命题，；命题：若，则，下列命题为假命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式可判断命题的真假，根据不等式性质可判断的真假，再由复合命题的性质判断命题真假【详解】命题：，因为，所以命题为真命题命题：若，则，
2、当时不等式不成立，所以命题为假命题由复合命题真假判断可知A：为真命题； B：为真命题;C：为假命题； D：为真命题.故选:C3. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】抛物线的焦点为，然后可算出答案.【详解】抛物线的焦点为，所以椭圆的一个焦点为，所以，即故选：A4. 已知正方体，若，则正方体的棱长等于（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算以及等式，可得出关于的等式，由此可得出该正方体的棱长.【详解】设正方体的棱长为，以点
3、为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，则，可得.因此，正方体的棱长为.故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量数量积求解正方体的棱长，考查计算能力，属于基础题.5. 设，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程可得，从而可得离心率的取值范围.【详解】由双曲线方程可得，又，当且仅当，即时取等号，所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，不等式的性质的应用，属于基础题.6. 三棱锥ABCD中，ABACAD2，BAD90，BAC60，则等于()A. 2B. 2C. D. 【
4、答案】A【解析】试题分析：考点：平面向量数量积的运算7. 正方体的棱长为1，是的中点，则到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】是中点，因此到平面的距离等于到平面距离的一半，求出到平面距离即可【详解】如图，连续与交于点，是正方形，则，是正方体，平面，而平面，又，平面，又，到平面的距离为，又，到平面的距离等于到平面距离的一半即为故选：B【点睛】方法点睛：本题考查求点到平面的距离，求到平面的距离方法如下：（1）直接过作平面的垂线，垂足为，求出的长即可；（2）（转化法）若，是直线上的点，且，求出到平面的距离，则到距离为（3）体积法，利用三棱锥可以以任一面底面，换底后求出
5、体积，则可求得点面距（4）建立空间直角坐标系，若，求出的一个法向量，在方向上的投影的绝对值即为到平面的距离8. 已知点为椭圆的一个焦点，过点作圆的两条切线，若这两条切线互相垂直，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据切线垂直，推导出点至坐标原点的距离，即可求得焦点坐标和【详解】由题可设，根据题意，作图如下：因为过点的两条切线垂直，故可得，则，故可得，即点坐标为.则，故，解得.故选:C.9. 下列命题中为真命题的是（ ）A. 命题“若，则”的逆命题B. 命题“若，则或”的否命题C. 命题“若，则”D. 命题“若，则”的逆否命题【答案】B【解析】【分析】依次判断每个命题的
6、真假即可.【详解】A项，命题“若，则”的逆命题为“若，则”，显然命题为假；B项，命题“若，则或”的逆命题为“若或，则”，显然命题为真，则原命题的否命题也为真；C项，解，得或，所以命题“若，则”为假；D项，或，所以命题“若，则”是假命题，则其逆否命题也为假命题.故选：B.10. 设有下列四个命题：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内：过空间中任意三点有且仅有一个平面：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行：若直线平面，直线平面，则则上述命题中所有真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题
7、的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点B平面内，同理，与的交点A也在平面内，所以，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线不相交，可能平行可能异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题.故选:B11. 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（）A. 18B. 24C. 36D. 48【答案】C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=
8、2px（p0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又ABx轴|AB|=2p=12p=6又点P在准线上DP=（ +|- |）=p=6SABP=（DPAB）= 612=36故选C12. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合特殊值法、正弦函数的单调性以及诱导公式判断可得出结论.【详解】充分性：在中，若，则，可知为锐角，且.若角为直角，则，则不成立，故角不可能为直角；若角为锐角，则，则，由于正弦函数在上
9、为增函数，可得，即，即，此时，为钝角三角形；若角为钝角，即，可得，则，由可得，由于正弦函数在上为增函数，可得，可得，此时，为钝角三角形；所以，充分性成立；必要性：若为钝角三角形，且角为钝角，则角为锐角，那么，必要性不成立.综上所述，在中，“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.13. 如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且，则线段AB的长为（ ）A. 5B. 6C. D. 【答案】C【解析】【分析】设在准线上的射影分别为，根据点是的中
10、点， ，取得，设，根据相似求得，再结合焦点弦的性质，即可求解.【详解】设在准线上的射影分别为，准线与轴交于，则，由于点是的中点，且，根据抛物线的定义，可得，所以，设，则，即，解得，所以，即的长为.故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中熟记抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.14. 已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可知，M在以原点为圆心，c为半径的圆上，所以圆在椭圆内部，可得.【详解】因数所以M在以原点为圆心，c为半径的圆
11、上所以圆在椭圆内部，所以所以故选：C.【点睛】本题主要考查了点与椭圆的位置关系，还考查转化化归的能力，属于中档题.二、填空题15. 设双曲线的离心率为，则的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】根据离心率公式得到，再计算渐近线得到答案.【详解】由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，由题意离心率，可得，所以渐近线的方程为，故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程，属于简单题.16. 一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为_【答案】【解析】【分析】设椭圆方程为=1，（ab0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a
12、，b，由此能求出椭圆方程【详解】个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，设椭圆方程为=1，（ab0），P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，且a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=，椭圆方程为故答案为【点睛】本题考是椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用17. 已知正方体的棱长为，则点与面对角线所在直线间的距离是_【答案】【解析】【分析】连接交于点O，连接，根据正方体的性质，易得平面，进而得到，则的长度即为所求.【详解】如图所示：连接交于点O，连接，因为，所以平面，所以，所以的长度即为所求.因为，所以故答案为：18. 已知抛物
13、线在第一象限内的部分上一点到抛物线焦点的距离为4，若为抛物线准线上任意一点，则的周长最小值为_【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义由求得抛物线方程，进而得到准线方程，焦点坐标，然后作出点A关于准线的对称点求解.【详解】因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离为4，由抛物线的定义得；，解得，所以抛物线方程为，准线方程为，焦点坐标为，如图所示：点A关于准线的对称点，则AP+PF的最小值为，所以的周长最小值为故答案为：三、解答题19. 已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立（1）若为真命题，求的取值范围；（2）当时，且为假命题，或为真命题，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【
14、分析】（1）考查不等式恒成立，构造函数，求其最小值即可；（2）且为假命题，或为真命题，则，中一个是真命题，一个是假命题，分真假、假真两类讨论即可.【详解】（1）对任意，不等式恒成立，令，则，当时，即，解得因此，当为真命题时，的取值范围是（2）当时，若为真命题，则存在，使得成立，所以因此，当命题为真时，因为且为假命题，或为真命题，所以，中一个是真命题，一个是假命题当真假时，由得；当假真时，由得综上所述，的取值范围为【点睛】本题借助命题的“外衣”，考查了不等式恒成立问题，和存在性问题，是一道很典型的题目.20. 如图，在长方体中，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点（1）求证：平面；（2）求直
15、线与直线所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量为，满足即可；（2）利用可求出.【详解】（1）证明：在长方体中，建立如图所示空间直角坐标系，由，为的中点，为线段上一点，且满足，得，设平面的一个法向量为由，取，得，且平面，平面（2）解：由（1）知，又，直线与直线所成角的余弦值【点睛】本题考查线面平行证明和异面直线所成角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解是解决本题的有效办法.21. 已知椭圆的离心率，且过点（1）求椭圆方程；（2）已知、为椭圆的上、下两个焦点，是过焦点的一条动弦，求面积的最大值【答案】（1
16、）；（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率的值，可列出的关系式，再根据经过点，可得出的值和的值，最后再结合，可算出的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值.【详解】（1）由题意，由得，所以，所以椭圆方程是（2）由于直线经过上焦点，设直线方程为，联立方程组将代入椭圆方程，得，则，可知 则当，即时，有最大面积为【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三
17、角形面积的范围.22. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，顶点在底面ABCD内的射影恰为点C.（1）求证：BC平面ACD1；（2）若直线DD1与底面ABCD所成的角为，求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，则平面ABCD，推导出，连接AC，过点C作CGAB于点G，推导出BCAC，由此能证明BC平面ACD1;（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值【详解】解：（1）证明：如图，连接，则平面ABCD，在等腰梯形ABCD中
18、，连接AC，过点C作于点G，则因此满足又，面，平面（2）由（1）知两两垂直，平面以C为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，由，得，可得平面的一个法向量，又为平面ABCD的一个法向量，设平面与平面ABCD所成锐二面角为，则，因此平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23. 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（）若在线段上，是的中点，证明；（）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（）见解析；（）【解析】【分析】设的方程为（）由在线段上，又；（）设与轴的交点为（舍去），设满足条件的的中点为当与轴不垂直时当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为【详解】由题设，设，则，且记过两点的直线为，则的方程为 （）由于线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以 （）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），设满足条件的的中点为当与轴不垂直时，由可得而，所以当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法