1、2020-2021学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1已知，i为虚数单位，则2+1的值为（）A1B0C1Di2把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰当的是（）平行 垂直 相交 斜交ABCD3在二维空间中，圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）应用类比推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度V12r3，则其四维测度W（）A4r4B3r4C2r4Dr44已知某产品的销售额y（单位：万元）与广告费用x（单位：万元）之间的关系如表：x（单位：万
2、元）01234y（单位：万元）1015m3035若根据表中的数据用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为6.5x+9，则下列说法中错误的是（）A当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元B该回归直线过点（2，22）C产品的销售额与广告费用成正相关Dm的值是205极坐标方程（1）（）0（0）表示的图形是（）A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线D一条直线和一条射线6执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M（）ABCD7若复数z满足z（1i）2i，则下列说法正确的是（）Az的虚部为iBz的共轭复数为1+iC|z|2Dz对应的点在第二象限8在极坐标系中，两条曲线，的交点为A，
3、B，则|AB|（）A4BC2D19若两个正实数x，y满足+1，且不等式x+m23m有解，则实数m的取值范围（）A（1，4）B（，1）（4，+）C（4，1）D（，0）（3，+）10点P所在轨迹的极坐标方程为2cos，点Q所在轨迹的参数方程为在（t为参数）上，则|PQ|的最小值是（）A2BC1D11某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，24这24个整数中等可能随机产生则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为（）ABCD12已知函数f（x）的导函数为f（x），记f1（x）f（x），f2（x）f1（x），fn+1（x）fn（x）（nN*）若f（x）xsinx，则f2019（x
4、）+f2021（x）（）A2cosxB2sinxC2cosxD2sinx二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13复数，复数是z的共轭复数，则z 14已知直线的参数方程为（t为参数），则该直线被圆x2+y29截得的弦长为 15若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2，xn，总满足），称函数f（x）为D上的凸函数；现已知f（x）sinx在（0，）上是凸函数，则ABC中，sinA+sinB+sinC最大值是 16瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V、棱数E及面数F满足等
5、式VE+F2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，共有32个面，是由m块白色正六边形面料和32m块黑色正五边形面料构成的则m的值为 三、解答题（共6小题，满分70分）17（1）在，z为纯虚数，z为非零实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知复数z（m22m3）+（m23m4）i，（i为虚数单位为z的共轭复数，若 _求实数m的值；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）（2）若1i是关于x的实系数一元二次方程：x2+ax+b0的一个根，求a，b的值及方程的另一个
6、根18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于60；（2）若角A，B，C成等差数列，证明19在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度20（1）已知a，b，x均为正数，且ab，求证：；（2）根据生活常识“淡糖水再加糖会更甜”，请给出类似第（1）小题的命题，并予以证明；（3）证明：ABC中，（可直接应用第（1）（2）小题的结论
7、）21遵守交通规则，人人有责“礼让行人”是我国道路交通安全法的明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容道路交通安全法第47条明确规定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过道路，应当避让否则扣3分罚200元”如表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份1234违章驾驶员人数12510510090（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程+a，并预测该路囗2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数（四舍五入）；（2）交警从这4个月内通过该路口的驾驶员
8、中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过2年1020驾龄2年以上812能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？参考公式：P（K2k）0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879K2，其中na+b+c+d22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）当k1时，求C1和C2的直角坐标方程；（2）当k2时，C1与C2交于A，B两点，设P的直角坐标为（0，1），求的值参考答案一、选择
9、题（共12小题，每题5分，共60分）.1已知，i为虚数单位，则2+1的值为（）A1B0C1Di解：，则2+1故选：B2把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰当的是（）平行 垂直 相交 斜交ABCD解：根据两条直线的位置关系，分析四个答案中的要素之间关系，均为逻辑关系，是从属关系故选：C3在二维空间中，圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）应用类比推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度V12r3，则其四维测度W（）A4r4B3r4C2r4Dr4解：二维空间中圆的一维测度 （周长） l2r，二维
10、测度 （面积） Sr2；观察发现Sl，三维空间中球的二维测度 （ 表面积 ）S4r2，三维测度 （ 体积 ），观察发现 VS，四维空间中“特级球“的三维测度 V8r3，猜想其四维测度 W，则 WV12r3，W3r4，故选：B4已知某产品的销售额y（单位：万元）与广告费用x（单位：万元）之间的关系如表：x（单位：万元）01234y（单位：万元）1015m3035若根据表中的数据用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为6.5x+9，则下列说法中错误的是（）A当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元B该回归直线过点（2，22）C产品的销售额与广告费用成正相关Dm的值是20解：因为y与x的回归直线方
11、程为6.5x+9，当x10时，6.510+974，则74为估计值，不是确定值，故选项A错误；由题意，因为回归方程必过样本中心，则，所以该回归直线过点（2，22），故选项B正确；因为6.50，则产品的销售额与广告费用成正相关，故选项C正确；因为22，则m20，故选项D正确故选：A5极坐标方程（1）（）0（0）表示的图形是（）A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线D一条直线和一条射线解：方程（1）（）01或，1是半径为1的圆，是一条射线故选：C6执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M（）ABCD解：由程序框图知：第一次循环M1+，a2，b，n2；第二次循环M2+，a，b，
12、n3；第三次循环M+，a，b，n4不满足条件n3，跳出循环体，输出M故选：D7若复数z满足z（1i）2i，则下列说法正确的是（）Az的虚部为iBz的共轭复数为1+iC|z|2Dz对应的点在第二象限解：由z（1i）2i，得z1+i，z的虚部为1，故A错误；z的共轭复数为1i，故B错误；|z|，故C错误；z对应的点的坐标为（1，1），在第二象限，故D正确故选：D8在极坐标系中，两条曲线，的交点为A，B，则|AB|（）A4BC2D1解：曲线，曲线C1的直角坐标方程为x+y1，即0，曲线C2的直角坐标方程为x2+y22，圆心C2（0，0）到直线x+y0的距离d1，|AB|222故选：C9若两个正实数x
13、，y满足+1，且不等式x+m23m有解，则实数m的取值范围（）A（1，4）B（，1）（4，+）C（4，1）D（，0）（3，+）解：不等式有解，（x+）minm23m，x0，y0，且，x+（x+）（）+24，当且仅当，即x2，y8时取“”，（x+）min4，故m23m4，即（m+1）（m4）0，解得m1或m4，实数m的取值范围是（，1）（4，+）故选：B10点P所在轨迹的极坐标方程为2cos，点Q所在轨迹的参数方程为在（t为参数）上，则|PQ|的最小值是（）A2BC1D解：点P所在轨迹的极坐标方程为2cos，化为直角坐标方程为：（x1）2+y21，圆心坐标（1，0），半径为：1；点Q所在轨迹的参
14、数方程为在（t为参数）上，则|PQ|的最小值是点Q与圆的圆心的距离的最小值减去1，|PQ|11211，故选：C11某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，24这24个整数中等可能随机产生则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为（）ABCD解：模拟程序的运行，可得：x的值为：6，12，18，24时，y3，所以：P3故选：B12已知函数f（x）的导函数为f（x），记f1（x）f（x），f2（x）f1（x），fn+1（x）fn（x）（nN*）若f（x）xsinx，则f2019（x）+f2021（x）（）A2cosxB2sinxC2cosxD2sinx解：f（x）xsinx，则
15、f1（x）f（x）sinx+xcosx，f2（x）f1（x）cosx+cosxxsinx2cosxxsinx，f3（x）f2（x）2sinxsinxxcosx3sinxxcosxf4（x）f3（x）3cosxcosx+xsinx4cosx+xsinxf5（x）f4（x）4sinx+sinx+xcosx5sinx+xcosxf6（x）f5（x）5cos+cosxxsinx6cosxxsinx，f7（x）f6（x）6sinxsinxxcosx7sinxxcosx，则f1（x）+f3（x）sinx+xcosx3sinxxcosx2sinx，f3（x）+f5（x）3sinxxcosx+5sinx+xc
16、osx2sinx，f5（x）+f7（x）5sinx+xcosx7sinxxcosx2sinx，即f4n+1（x）+f4n+3（x）2sinx，f4n+3（x）+f4n+5（x）2sinx则f2019（x）+f2021（x）2sinx，故选：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13复数，复数是z的共轭复数，则z解：，|z|，z故答案为：14已知直线的参数方程为（t为参数），则该直线被圆x2+y29截得的弦长为 解：将直线参数方程（t为参数），代入圆的方程中，可得5t2+8t40，设方程的两根分别为t1，t2，根据韦达定理，可得，该直线被圆x2+y29截得的弦长为故答案为：15若定
17、义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2，xn，总满足），称函数f（x）为D上的凸函数；现已知f（x）sinx在（0，）上是凸函数，则ABC中，sinA+sinB+sinC最大值是解：f（x）sinx在区间（0，）上是凸函数，且A、B、C（0，），f（）f（ ），即sinA+sinB+sinC3sin ，所以sinA+sinB+sinC的最大值为 故答案为：16瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V、棱数E及面数F满足等式VE+F2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮
18、、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，共有32个面，是由m块白色正六边形面料和32m块黑色正五边形面料构成的则m的值为20解：由题意可知，该几何体的顶点数为V，棱数为E，又F32，由欧拉多面体公式得：+322，解得m20，故答案为：20三、解答题（共6小题，满分70分）17（1）在，z为纯虚数，z为非零实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知复数z（m22m3）+（m23m4）i，（i为虚数单位为z的共轭复数，若 _求实数m的值；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）（2）若1i是关于x的实系数一元二次方程：
19、x2+ax+b0的一个根，求a，b的值及方程的另一个根解：（1）选条件：，2（m22m3）8，解得m1选条件：z为纯虚数，解得m3选条件：z为非零实数，解得m4（2）因为1i为实系数一元二次方程：x2+ax+b0的一个根，（1i）2+a（1i）+b0，解得：a2，b2，原方程为x22x+20，配方得：（x1）2i2，解得 x11+i，x21i18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于60；（2）若角A，B，C成等差数列，证明【解答】证明：（1）假设结论不成立，即0A60，0B60，0C60，则A+B+C180，这与A+B+C180相矛盾，所
20、以假设不成立，故A，B，C中至少有一个角大于或等于60（2）要证，只需证，即证，即证c（b+c）+a（a+b）（a+b）（b+c），即c2+a2ac+b2，又因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，由余弦定理得，b2c2+a22accos60c2+a2ac，所以c2+a2ac+b2，故成立19在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度解：（1）设点P（x，y），
21、M（2cos，2+2sin），则由得：x4cos，y4+4sin，消参得：x2+（y4）216转化为极坐标方程得：8sin，所以C2的极坐标方程8sin，同理可得C1的极坐标方程4sin（2）在极坐标系，可得，所以20（1）已知a，b，x均为正数，且ab，求证：；（2）根据生活常识“淡糖水再加糖会更甜”，请给出类似第（1）小题的命题，并予以证明；（3）证明：ABC中，（可直接应用第（1）（2）小题的结论）解：（1）证明：a，b，x均为正数，ab，a+xb+x0，即得证（2）已知a，b，x均为正数，ab，则，证明：ab，根据（1）知，取倒数，得到，即得证（3）证明：在ABC中，根据正弦定理可知：
22、，同理可得：，21遵守交通规则，人人有责“礼让行人”是我国道路交通安全法的明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容道路交通安全法第47条明确规定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过道路，应当避让否则扣3分罚200元”如表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份1234违章驾驶员人数12510510090（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程+a，并预测该路囗2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数（四舍五入）；（2）交警从这4个月内通过该
23、路口的驾驶员中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过2年1020驾龄2年以上812能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？参考公式：P（K2k）0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879K2，其中na+b+c+d解：（1）由表中数据知，,所以,所以,故所求回归直线方程为,令x5，则人,所以预测该路口5月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为78人（2）由表中数据得,根据统计知，没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）当k1时，求C1和C2的直角坐标方程；（2）当k2时，C1与C2交于A，B两点，设P的直角坐标为（0，1），求的值解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为，当k1时，曲线C2的极坐标方程为，转换为3sin（）4，根据，转换为直角坐标方程为3x+3y4（2）当k2时，转换为，根据转换为直角坐标方程为4x2+y24把曲线C1的参数方程为（t为参数），代入4x2+y24，得到，所以，所以