1、课时规范练33基本立体图形、直观图、几何体的表面积和体积基础巩固组1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是()2.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形OABC,其中梯形的上底长是下底长的13,若原平面图形OABC的面积为32,则OA的长为()A.2B.2C.3D.323.(2020江苏徐州期末)我国古代数学名著九章算术中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥,方锥的底面内接于半球的底面,方锥的顶点在半球的球面上,若方锥的体积为18,则半球的表面积为()A.9B.18C.27D.364.(2020河北保定高三月考)已知一圆锥的底面半径、高、体积分别为2r
2、,h1,V,圆柱的底面半径、高、体积分别为r,h2,V,则h1h2=()A.34B.43C.12D.25.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高三期末)已知四面体A-BCD外接球的球心O恰好在AD上,等腰直角三角形ABC的斜边AC为2,DC=23,则这个球的表面积为()A.254B.8C.12D.166.(多选)对于四面体ABCD,下列命题正确的是()A.由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的垂心B.分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点C.若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面D.最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱7.(多选)(2020山
3、东蒙阴实验中学高三期末)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,侧面PCD平面ABCD,BC=23,CD=PC=PD=26.若点M为PC的中点,则下列说法正确的为()A.BM平面PCDB.PA平面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为36D.四棱锥M-ABCD的体积为68.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=14,BC=5,AA1=4,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=2.(1)求直线CF与C1E所成角的余弦值;(2)过点E,F的平面与此长方体的表面相交,交线围成一个正方形,求平面把该长方体分成的较小部分与较大部分的体积的比值.综合提升组9.(2020
4、上海外国语学校模考)用长度分别是2,3,5,6,9(单位:cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的对应长方体的最大表面积为()A.258 cm2B.414 cm2C.416 cm2D.418 cm210.(2020湖南湘潭高三调研)在四面体A-BCD中,AD=AC=BC=BD,AB=CD=42.球O是四面体A-BCD的外接球,过点A作球O的截面,若最大的截面面积为9,则四面体A-BCD的体积是.创新应用组11.(2020山东潍坊高三上期中)如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面
5、体,则该六面体的表面积为;若该六面体内有一小球,则小球的最大体积为.参考答案课时规范练33基本立体图形、直观图、几何体的表面积和体积1.A此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成,是由A中的平面图形旋转形成的.故选A.2.D设OA=x,则OB=2x,在原图形中OB=2OB=22x,BC=BC=x3,OA=OA=x,OB为原图形中梯形的高,面积为S=12x+13x22x=32,解得x=32,故选D.3.C设球的半径为R,则1312(2R)2R=18,解得R=3,故半球的表面积为S=124R2+R2=332=27,故选C.4.A由题可知13(2r)2h1=r2h2,即h1h2=34,故
6、选A.5.D由于四面体A-BCD外接球的球心O恰好在AD上,所以AD是球O的直径,所以ACD为直角三角形,所以AD=AC2+CD2=4,所以球的半径为2,表面积为422=16.故选D.6.BD如图,取AB,AC,AD,BC,BD,DC的中点F,E,I,J,H,G.对于A,三角形的垂心是三条高线的交点,而A点的位置可以任意变化,故A错误;对于B,因为EICDJH,JEABIH,所以四边形JEIH为平行四边形,同理四边形EFHG也是平行四边形.FG,EH的交点为平行四边形EFHG对角线EH的中点;EH,JI的交点为平行四边形JEIH对角线EH的中点,故三条线段交于一点,故B正确;对于C,若四面体为
7、正四面体,则两条高线刚好相交于AB的中点,故C错误;对于D,假设D错误,设AB为最长棱,则AC+ADAB,BC+BDAB,相加得AC+AD+BC+BD2AB,在ABC,ABD中,AC+BCAB,AD+BDAB,所以AC+AD+BC+BD2AB,与矛盾,故D正确.故选BD.7.BC如图,在四棱锥P-ABCD中:侧面PCD平面ABCD,交线为CD,底面ABCD为矩形,BCCD,则BC平面PCD,过点B只能作一条直线与平面PCD垂直,所以选项A错误;连接AC交BD于O,连接MO,在PAC中,OMPA,MO平面MBD,PA平面MBD,所以PA平面MBD,所以选项B正确;四棱锥M-ABCD的体积是四棱锥
8、P-ABCD的体积的一半,取CD中点N,连接PN,PNCD,则PN平面ABCD,则PN=32,所以四棱锥M-ABCD的体积VM-ABCD=1213232632=12,所以选项D错误;在矩形ABCD中,易得AC=6,OC=3,ON=3,在PCD中,NM=12PC=6,在RtMNO中,MO=ON2+MN2=3,即OM=OA=OB=OC=OD,所以O为四棱锥M-ABCD外接球的球心,其半径为3,所以其表面积为36,所以选项C正确,故选BC.8.解(1)连接EF,EB,BC1,长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=D1F=2,且A1ED1F,所以四边形A1EFD1是平行四边形,所以A1D1与EF
9、平行且相等,所以EF与BC平行且相等,所以四边形EFCB为平行四边形,所以FCBE,直线CF与C1E所成角就是C1EB或其补角,C1E=EF2+FC12=13,EB=EB12+BB12=410,C1B=B1B2+B1C12=41,在C1EB中,由余弦定理,cosC1EB=C1E2+EB2-C1B22C1EEB=169+160-41213410=181065,所以直线CF与C1E所成角的余弦值为181065.(2)设过点E,F的平面与此长方体的表面相交,交线围成一个正方形,即正方形EFNM,则EM=5,作EPAB于点P,作FQDC于点Q,所以PM=3,所以点M在点P的右侧,平面把该长方体分成的两
10、部分为直棱柱AMEA1-DNFD1和直棱柱EMBB1-FNCC1,两个直棱柱的高相等,两部分体积之比为VAMEA1-DNFD1VEMBB1-FNCC1=AM+A1E2AA1ADMB+B1E2AA1BC=721=13.9.C设长方体的三条棱的长度为a,b,c,所以长方体表面积S=2(ab+bc+ac)(a+b)22+(b+c)22+(a+c)22,当且仅当a=b=c时取等号又由题意可知a=b=c不可能成立,所以当a,b,c的长度最接近时,此时对应的表面积最大,此时三边长分别为8cm,8cm,9cm,用2cm和6cm连接在一起形成8cm,用3cm和5cm连接在一起形成8cm,剩余一条棱长为9cm,
11、所以最大表面积为2(88+89+89)=416(cm2).故选C.10.323如图,因为AD=AC=BC=BD,AB=CD=42,所以该长方体的长和宽都是4.设该长方体的高为h,球O的半径为R,则R=16+16+h22.因为过点A作球O的截面,最大的截面面积为9,所以R=3,则h=2,故四面体A-BCD的体积是442-13124424=323.11.33286729(1)因为S=612132=332,所以该六面体的表面积为332.(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时,每个三角形面积是34,六面体体积是正四面体的2倍,所以六面体体积是26.由于图形的对称性,若内部的小球体积最大,则球与六个面均相切,连接球心和五个顶点,把六面体分成了六个三棱锥,设球的半径为R,所以26=61334R,解得R=69,所以球的体积V=43R3=43693=86729.