1、 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页中学生标准学术能力诊断性测试 2022 年 3 月测试理科数学试卷本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设集合()()110Axxx=+，0By y=，则()BA=RA B)0,1 C(1,0)D(1,0 2 已知双曲线12222=bxay的一条渐近线过点(2,1)，则此双曲线的离心率为A3B23C5D253 若复数 z 满足()1i2i1z+=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是A z 的虚部为 3 i2 B102z=C
2、3zz+=D z 在复平面内对应的点在第二象限4 设0,0ba，则“49+ba”是“94ab”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5 已知函数()xf的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A()2ln(1cos)fxx=+B()2ln(1cos)fxxx=C()2ln(1sin)fxx=+D()2ln(1sin)fxxx=6 为了得到函数sin(2)3yx=+的图象，可以将函数cos 24yx=+的图象A向左平移 524 个单位B向右平移 524 个单位C向左平移2 个单位D向右平移2 个单位7 已知61(0)axax+的展开式中含2x的系数为 60，则61axx
3、的展开式中的常数项为A160 B160 C80 D80 8 如图所示，已知四边形 ABCD 是由一个等腰直角三角形 ABC 和一个有一内角为30 的直角三角形 ACD 拼接而成，将ACD绕 AC 边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是AABCD BADBC CABBD DCDBC 9 已知随机变量 的分布列如下表所示，且满足()0=E，则下列方差值中最大的是102Pa21bA()D B()D C(21)D+D(32)D 10已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的离心率为33，过左焦点 F 作一条斜率为(0)k k 的直线，与椭圆交于BA,两点，满足FBAF2=，则实数k 的值为A1
4、 B2 C3 D 2 11对任意的(12,1,2xx，当12xx时，1212ln02xaxxx+恒成立，则实数 a 的取值范围是A(2)+，B)2,+C(4)+，D)4,+12设数列na的前 n 项和为nS，满足()212nnnaSna+=N，则下列说法正确的是（第 5 题图）（第 8 题图）第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页A202120221aa B202120221aa C202222022a D202222022 a 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13在长方体1111DCBAABCD 中，已知2=AB，tBC=，若在线段 AB 上存在点 E，使得
5、EDEC 1，则实数t 的取值范围是 14平面向量,a b 满足：1,23aaba b=+=，设向量,a b 的夹角为，则sin的最大值为 15已知实数ba,满足baba44221+=+，则bat22+=的取值范围是 16电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐在同一排，问恰有两个连续的空座位的情况有 种三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，若2=b
6、，且42coscaC=（1）求角 B 的大小；（2）若ABC是锐角三角形，求ABC面积的取值范围18（12 分）已知数列na满足11=a，且123()naaaan n=N（1）求数列na的通项公式；（2）设()()()()11,22,1nnnnannnbnan+=，且数列nb的前 n 项和为nS，若()23+nS n恒成立，求 的取值范围19（12 分）如图所示，在四棱锥ABCDP 中，平面PAB平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，120,1,ABCPBPBAB=（1）求证：平面PBD平面 PAC；（2）求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小20（12 分）已知
7、实数yx,满足()222ee2xyxy+=（1）若0=x时，试问上述关于 y 的方程有几个实根？（2）证明：使方程()222ee2xyxy+=有解的必要条件为：20 x 21（12 分）如图所示，已知抛物线2:2Eypx=，其焦点与准线的距离为 6，过点()0,4M作直线21,ll与 E 相交，其中 1l 与 E 交于BA,两点，2l 与 E 交于DC,两点，直线 AD 过 E 的焦点 F，若 AD，BC 的斜率为1k，2k（1）求抛物线 E 的方程；（2）问21kk是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则
8、按所做的第一题计分作答时请写清题号22（10 分）选修：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直 线 l 的 参 数 方 程 为cos(0)2sin2xttyt=+为参数，曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为sin8cos2=（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于BA,两点，当 变化时，求 AB 的最小值23（10 分）选修：不等式选讲设函数()22+=xxxf（1）若()3442+xxxf，求 x 的取值范围；（2）若2 ax，求证：()()aafxf46+（第 21 题图）（第 19 题图）第1页
9、共6页 中学生标准学术能力诊断性测试 2022 年 3 月测试理科数学参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的123456789101112DCBADBABDBDA二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(1,0 1413133 15+21031，16720 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）（1）解：由余弦定理可得：
10、4244cos22caacaC=+=，.2 分整理得acca+=224，解得2124cos22=+=accaB，.4 分()0,B ，故3B=.5 分（2）由（1）可知：24sin332bB=，所以有：CcAasin34,sin34=故161621631sinsinsinsinsincossin333322acACAAAAA=+()288311843 sincossinsin 2cos 2sin 233222363AAAAAA=+=+=+.8 分 第2页共6页 ABC是锐角三角形，022032ACA=，可得：,62A ，9 分52,666A，所以1sin2,162A，故4,38ac.11 分故
11、ABC的面积13sin234Sacac=，则23,33S.12 分18（12 分）（1）解：123()naaaan n=N当2n时，有：11221=naaaann，2 分两式作商，可得：当2n时，1=nna n，.3 分又由11=a，得()=1,12,1nnnnan.4 分（2）当2n时，()()nnnnnnnnnb212111+=+=，当1=n时，111221=ab，所以对任意的 n N，均有nnnb21+=，5 分nnnS21232221+=，1322123222+=nnnS，利用错位相减法:：n-123n11111421111111122222212nnnSnn+=+=+=1212123
12、+nnn，求得nnnnS212131+=，8 分由()23+nS n得()nnn223+，9 分令()()nnnng223+=，第3页共6页 则()()()()14132322nnng nnng nn+=+()()()224123nnn+=+，11 分因为()0ng，所以有：()()ngng+1，即随着 n 增大，()ng减小，()()max213g ng=.12 分19（12 分）（1）证明：平面PAB平面 ABCD，面PAB面ABABCD=，且ABPB，PB平面 ABCD，2 分AC面 ABCD，PBAC，由菱形性质知BDAC，BBDPB=，AC平面 PBD，4 分又AC平面 PAC，平面
13、PBD平面 PAC 5 分（2）如图，设CD 的中点为 E，121=CDCE，60BCE=，2BC=，CEBE，ABBE，平面PAB平面 ABCD，面PAB面ABABCD=，且ABBE，BE面 PAB，.7 分以点 B 为原点，以直线 BA、BP、BE 为 xyz、轴，如图所示建立空间直角坐标系，可得()0,0,0B，()2,0,0A，()0,1,0P，()1,0,3C，()1,0,3D设平面 PAD 的一个法向量为(),mx y z=，而()()1,0,3,2,1,0ADAP=，由00m ADm AP=，得=+=+0203yxzx，取3=x，得()3,23,1m=，.9 分设平面 PBC 的
14、一个法向量为(),na b c=，且()0,1,0BP=，()1,0,3BC=，由00n BPn BC=，得=+=030cab，取3=a，得()3,0,1n=，.11 分设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为，则 第4页共6页 311coscos,231212m nm nmn+=+，所以60=，故平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为60.12 分注：其他解法酌情给分20（12 分）（1）解：将0=x代入得：()221e2yy+=，不妨记()2221eyfyyy=+，()2222eyfyy=+，.2 分易知()fy 在 R 上递增，且()00f=，可得：当0y 时，()0fy；当
15、0y 时，()0fy，即：()fy 在(),0单调递减，()0,+单调递增；.4 分由于()()00fyf=，故0=x时关于 y 的方程有唯一的根.5 分（2）先证e1xx+，令()()e1xg xx=+，则()e1xgx=，当0 x 时，()0gx，()g x 单调递减；0 x 时，()0gx，()g x 单调递增；()()00g xg=，所以有e1xx+恒成立，.8 分由()()()22e2 e1e10 xxxyyy+=，可得：()()2e2 e1xxyy 10 分所以有：()()()2222222ee2 e1122e2 1xyxxxyxyyxxx=+=+，所以220 xx+，即 20 x
16、.12 分21（12 分）（1）解：抛物线 E：pxy22=，焦点0,2pF，准线：2px=，焦点与准线的距离为6=p，则抛物线 E 的方程为：xy122=.3 分（2）设()121 6,3ttA，()222 6,3ttB，()323 6,3ttC，()424 6,3ttD，41242141123366ttttttk+=，同理3222ttk+=，第5页共6页 413232412122ttttttttkk+=+=.5 分()211142:63ADlytxttt=+，.6 分将()0,3F代入可得：141=tt.7 分()21211326:txtttyl AB+=，将()0,4M代入可得：3421
17、=tt同理：3443=tt，.8 分由可知：3434,34,11431214ttttttt=10 分代入：341134134341111111121=+=ttttttttkk21kk 为定值，值为34.12 分（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22（10 分）（1）解：由sin8cos2=,得()sin8cos2=，所以曲线C 的直角坐标方程为yx82=3 分（2）将直线l 的参数方程代入yx82=，得()()2sin8cos2+=tt，化简得：016sin8cos22=tt，0恒成立5 分设BA,两点对应的参数分别
18、为21,tt，第6页共6页 则=+221221cos16cossin8tttt，7 分所以()22222122121cos8cos64cossin84=+=+=ttttttAB9 分当0=时，AB 的最小值为 8 10 分23（10 分）（1）解：函数()22+=xxxf，代入()3442+xxxf，可得：363+x，2 分所以363+x，或363+x，可知 x 的取值范围是1,3xxx或 4 分（2）因为2 ax，所以()()()2222fxfaxxaa=+()22xaxa=()()1xaxa=+6 分1xaxa=+21xa+()()221xaa=+8 分()221xaa+42 21a+()42 21a+64 a=+10 分