1、1.1.2集合的包含关系学习目标1.明确子集，真子集，两集合相等的概念.2.会用符号表示两个集合之间的关系.3.能根据两集合之间的关系求解参数的范围.4.知道全集，补集的概念，会求集合的补集知识链接1已知任意两个实数a，b，如果满足ab，ba，则它们的大小关系是ab.2若实数x满足x1，如何在数轴上表示呢？ x1时呢？答案3方程ax2(a1)x10的根一定有两个吗？答案不一定预习导引1集合之间的关系关系概念符号表示图形表示子集如果集合B的每个元素都是集合A的元素，就说B包含于A，或者说A包含B.若B包含于A，称B是A的一个子集BA或真子集如果B是A的子集，但A不是B的子集，就说B是A的真子集B
2、A集合相等如果B是A的子集，A也是B的子集，就说两个集合相等AB全集、补集如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合I的元素和子集，就可以约定把集合I叫作全集若A是全集I的子集，I中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集IA2.常用结论(1)任意一个集合A都是它本身的子集，即AA.(2)空集是任意一个集合的子集，即对任意集合A，都有A.要点一有限集合的子集确定问题例1写出集合A1,2,3的所有子集和真子集解由0个元素构成的子集：；由1个元素构成的子集：1，2，3；由2个元素构成的子集：1,2，1,3，2,3；由3个元素构成的子集：1,2,3由此得集合A的所有子集为，1，2，3，1,2，1,3，2
3、,3，1,2,3在上述子集中，除去集合A本身，即1,2,3，剩下的都是A的真子集规律方法1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身2一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个跟踪演练1已知集合M满足2,3M1,2,3,4,5，求集合M及其个数解当M中含有两个元素时，M为2,3；当M中含有三个元素时，M为2,3,1，2,3,4，2,3,5；当M中含有四个元素时，M为2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5；当M中含有五个元素时，M为2,3,
4、1,4,5；所以满足条件的集合M为2,3，2,3,1，2,3,4，2,3,5，2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5，2,3,1,4,5，集合M的个数为8.要点二集合间关系的判定例2指出下列各对集合之间的关系：(1)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；(2)Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；(3)Ax|1x4，Bx|x50；(4)Mx|x2n1，nN，Nx|x2n1，nN解(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(3)集合Bx|x5，用数轴
5、表示集合A，B如图所示，由图可知AB.(4)由列举法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，故NM.规律方法对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示跟踪演练2集合Ax|x2x60，Bx|2x70，试判断集合A和B的关系解A3,2，B.3，2，3B,2B，AB又0B，但0A，AB.要点三简单的补集运算例3(1)设全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，则U A等于()A1,2B3,4,5C1,2,3,4,5 D(2)若全集UR，集合Ax|x1，则U A_.答案(1)B(2)x|x1解
6、析(1)U1,2,3,4,5，A1,2，UA3,4,5(2)由补集的定义，结合数轴可得U Ax|x1规律方法1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解2解题时要注意使用补集的几个性质：UU，UU，A(UA)U.跟踪演练3已知全集Ux|x3，集合Ax|3x4，则U A_.答案x|x3，或x4解析借助数轴得UAx|x3，或x4要点四由集合间的关系求参数范围问题例4已知集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且BA.求实数m的取值范围解BA，(1)当B时，m12m1，解得m2.(2)当B时，有解得1m2，综上得实数m的取值范围为m|m1规律方法1
7、.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误2涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用跟踪演练4已知集合Ax|1x2，Bx|1xa，a1(1)若AB，求a的取值范围；(2)若BA，求a的取值范围解(1)若AB，由图可知a2.(2)若BA，由图可知1a2.1集合Ax|0x3，xN的真子集的个数为()A4B7C8D16答案B解析可知A0,1,2，其真子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2共有7(个)2设集合Mx|x2，则下列选项正确的是()A0M B0MCM D0M答案A
8、解析选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误3设全集UR，Ax|0x6，则RA等于()A0,1,2,3,4,5,6 Bx|x0，或x6Cx|0x6 Dx|x0，或x6答案B解析Ax|0x6，结合数轴可得，RAx|x0，或x64已知集合A2,9，集合B1m,9，且AB，则实数m_.答案1解析AB，1m2，m1.5已知x|x2xa0，则实数a的取值范围是_答案a|a解析x|x2xa0x|x2xa0.即x2xa0有实根(1)24a0，得a.1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB，这是判断AB的常用
9、方法(2)不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.2集合子集的个数求解集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集一、基础达标1下列命题中，正确的有()空集是任何集合的真子集；若AB，BC，则AC；任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；如果不属于B的元素也不属于A，则AB.ABC D答案C解析空集只是空集的子集而
10、非真子集，故错；真子集具有传递性，故正确；若一个集合是空集，则没有真子集，故错；画图易知正确2已知集合A0,1,2，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A6B5 C4D3答案A解析集合0,1,2的子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2，其中含有偶数的集合有6个3设集合Px|yx2，Q(x，y)|yx2，则P与Q的关系是()APQ BPQCPQ D以上都不对答案D解析集合P是指函数yx2的自变量x的取值范围，集合Q是指所有二次函数yx2图象上的点，故P，Q不存在谁包含谁的关系4已知集合Ax|1x4，Bx|xa，若AB，则实数a满足()Aa4 Ba4Ca4 Da
11、4答案D解析由AB，结合数轴，得a4.5集合1,0,1共有_个子集答案8解析由于集合中有3个元素，故该集合有238(个)子集6设M为非空的数集，M1,2,3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有_个答案6解析集合1,2,3的所有子集共有238(个)，集合2的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有826(个)7已知集合A(x，y)|xy2，x，yN，试写出A的所有子集解A(x，y)|xy2，x，yN，A(0,2)，(1,1)，(2,0)A的子集有：，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(2
12、,0)二、能力提升8已知集合Ax|ax22xa0，aR，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是()A1 B1C0,1 D1,0,1答案D解析因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax22xa0(aR)仅有一个根(1)当a0时，方程化为2x0，此时A0，符合题意(2)当a0时，由224aa0，即a21，a1.此时A1，或A1，符合题意a0或a1.9已知集合A高一三班同学，B高一三班二组成员，则()AAB BABCAB DBA答案D10设集合A1,3，a，B1，a2a1，且AB，则实数a的值为_答案1或2解析AB，则a2a13或a2a1a，解得a2或a1或a1，结合集合元素的互
13、异性，可确定a1或a2.11已知集合Ax|x24x30，Bx|mx30，且BA，求实数m的集合解由x24x30，得x1或x3.集合A1,3(1)当B时，此时m0，满足BA.(2)当B时，则m0，Bx|mx30.BA，1或3，解之得m3或m1.综上可知，所求实数m的集合为0,1,3三、探究与创新12已知集合Ax|2a2xa，Bx|1x2，且ARB，求a的取值范围解RBx|x1或x2，ARB，分A和A两种情况讨论(1)若A，此时有2a2a，a2.(2)若A，则有或a1.综上所述，a的取值范围是a|a1或a213若集合Ax|x2x60，Bx|x2xa0，且BA，求实数a的取值范围解A3,2对于x2xa0，当14a0，即a时，B，BA成立；当14a0，即a时，B，BA不成立；当14a0，即a时，若BA成立，则B3,2，a326.综上：a的取值范围为a|a或a6.