1、2021新课标名师导学高考第一轮总复习同步测试卷数学(四)(函数的应用)时间：60分钟总分：100分对应学生用书p295一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分)1已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时，f(x)2x2x4，则f(x)的零点个数是()A2 B3 C4 D5解析 由于函数是定义在R上的奇函数，故f(0)0.由于ff(2)0时单调递增，故在x0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，在x0时，也有1个零点故一共有3个零点答案 B2制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较
2、经济(既够用又耗材最少)的是()A4.6 m B4.8 m C5 m D5.2 m解析 设一条直角边为x m，则另一条直角边是 m，斜边长为 m，故周长lx224.83 m，当且仅当x时等号成立，故较经济的(既够用又耗材最少)是5 m.答案 C3关于x的方程x2(a1)x40在区间1，3内有两个不等实根，则实数a的取值范围是()A(4，5 B3，6C. D.解析 关于x的方程x2(a1)x40在区间1，3内有两个不等实根，解得5a.答案 C4已知直线x2及x4与函数ylog2x图象的交点分别为A，B，与函数ylg x图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD()A相交，且交点在第一象限 B相交，
3、且交点在第二象限C相交，且交点在第四象限 D相交，且交点在坐标原点解析 A(2，1)，B(4，2)，C(2，lg 2)，D(4，lg 4)，kAB，kCD，直线AB、CD的方程分别为x2y0，xlg 22y0，显然两直线过原点答案 D5(多选)已知a为实常数，下列图象中可以作为函数f(x)的图象的有()解析 当a0时，如取a1，则f(x)，其定义域为R，它是奇函数，图象是B，所以B选项是正确的；当a0时，则f(x)，其定义域为：x|x0，它是奇函数，图象是D，所以D正确答案 BCD6函数fx2xa，gex2x2(e为自然对数的底数)，若任意x0，1，都有fg(x)0，则实数a的最大值是()Ae
4、25e6 Be23e6C2 D解析 由于gex4x，令mex4x，当x0，1时，mex40，me40，所以m(x)在0，1有唯一一个零点x0，即ex04x00 且g(x)在0，x0)单调递增，在(x0，1单调递减，所以e2ggex02x4x02x222，令ug(x)，ug，则由f0，即au2u，所以ae25e6，故选A.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上)7已知函数f(x)log2x2xm有唯一零点，如果它的零点在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是_解析 因为f(x)在(0，)上单调递增，因为函数的零点在区间(1，2)内，所以f(1)f(
5、2)0，即(log2121m)(log2222m)0(2m)(5m)0，解得2m0且a1)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥密码得明文“6”，若接受方接到密文“4”，则解密后得到明文为 _解析 依题意3loga(62)，得a2，则ylog2(x2)中，y4，所以x224，故x14.答案 1410某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件，切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_解析 如图，圆柱O1O2与正四面体的各面均相切，设与侧面ABC相切于F点，则E是BC的中点，且A、E、F三点共线，A，O1，O2三点共线，D，E，O2三点共线，AEDEsin 60
6、，O2为正BCD的中心，EO2DE，而AO2，设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h(12r)，r，圆柱的体积为Vr2hr2(12r)(2r3r2)，令f(r)(2r3r2)，则f(r)(6r22r)2r(3r1)，当r时，f(r)0，当r时，f(r)0且a1，b0且b1.(1)若ab1，试判断f(x)的奇偶性；(2)若a2，b，k16，证明f的图象是轴对称图形，并求出对称轴解析 (1)由已知，b，于是faxkax，则faxkax，若f是偶函数，则ff，即axkaxaxkax，所以0对任意实数x恒成立，所以k1.若f是奇函数，则ff，即axkax，所以0对任意实数x恒成立，所以k1.综上，当k1
7、时，f(x)是偶函数；当k1时，f是奇函数；当k1，f既不是奇函数也不是偶函数(2)f2x162x，若函数f的图象是轴对称图形，且对称轴是直线xm，即对任意实数x，ff恒成立，2mx162(mx)2mx162(mx)，化简得0，因为上式对任意xR成立，所以2m162m0，2m4，m2.所以，函数f的图象是轴对称图形，其对称轴是直线x2.12(16分)水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放a(0a4且aR)个单位的营养液，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为yaf(x)，其中f(x)若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度
8、之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效(1)若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？(2)若先投放2个单位的营养液，3天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值解析 (1)营养液有效，则需满足y4，则或即为1x2或2x3，解得1x3，所以营养液有效时间最多可达3天(2)设第二次投放营养液的持续有效时间为x天，则此时第一次投放营养液的持续有效时间为(x3)天，且0x2；设y1为第一次投放营养液的浓度，y2为第二次投放营养液的浓度，y为水中的营养液的浓度；y125(x3)42x，y2b，由题意得yy1y242xb
9、4在0，2上恒成立，b2x在0，2上恒成立，令t3x，t3，5，则b218，又21818221812，当且仅当t，即t3时等号成立；因为33，5，所以b的最小值为1812.13(18分)已知函数f(x)m(mR)(1)若函数f(x)有零点，求实数m的取值范围；(2)若对任意的x1，0，都有0f(x)1，求实数m的取值范围解析 (1)由函数f(x)有零点得：关于x的方程m4xm2x10(mR)有解令t2x，则t0，于是有，关于t的方程mt2mt10有正根设g(t)mt2mt1，则函数g(t)的图象恒过点(0，1)且对称轴为t.当m0.4x2x2x(2x1)0，m，x1，0)，当x1，0)时，12，4.当且仅当x1时取等号，2m4.综上可知，实数m的取值范围是2，4