1、课时跟踪检测(二十八)解三角形的实际应用一、题点全面练1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：选Ctan 15tan(6045)2，BC60tan 6060tan
2、 15120(1)(m)3一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在RtBCD中，BCh，在ABC中，A60，ACh，AB100，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.4地面上有两座相距120 m的塔
3、，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为()A50 m,100 m B40 m,90 mC40 m,50 m D30 m,40 m解析：选B设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为.则tan ，tan，根据三角函数的倍角公式有.因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为，由tan ，tan，得.联立解得H90，h40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行
4、于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为()A50 m B50 mC50 m D50 m解析：选B设该扇形的半径为r(m)，连接CO，如图所示由题意，得CD150(m)，OD100(m)，CDO60，在CDO中，由余弦定理，得CD2OD22CDODcos 60OC2，即150210022150100r2，解得r50(m)6.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30，塔底C与A的连线同河岸成15角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同
5、河岸成60角，则电视塔CD的高度为_m.解析：在ACM中，MCA601545，AMC18060120，由正弦定理得，即，解得AC600.在ACD中，tanDAC，DC600600.答案：6007.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C.测量得到：CD2，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则A，B两点之间的距离为_.解析：依题意知，在ACD中，DAC30，由正弦定理得AC2，在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3.在ABC中，由余弦
6、定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB10，解得AB.答案：8.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos _.解析：由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30.在ABD中，根据正弦定理可得，即，所以BD100sin 15100sin(4530)25()在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBCD1.所以cos cos(BCD90)sinBCD1.答案：19如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声
7、监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离解：(1)依题意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，cosPAB.同理，在PAC中，AC50，cosPAC.因为cosPABcosPAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于点D(图略)，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，所以PDPAsinPAD314(km)故静止目标P
8、到海防警戒线AC的距离为4 km.10.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 m和BN200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在RtAMP中，APM30，AM100，PM100.连接QM(图略)，在PQM中，QPM60，PQ100，PQM为等边三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ
9、100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75，距灯塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为_n mile/h.解析：如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，MN6834 n mile.又由M到N所用的时间为14104小时，此船的航行速度v n mile/h.答案：2.如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为和90.后退l m至点P2处
10、再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔BC的高为_m；旗杆BA的高为_m(用含有l和的式子表示)解析：在RtBCP1中，BP1C，在RtP2BC中，P2.BP1CP1BP2P2，P1BP2，即P1BP2为等腰三角形，BP1P1P2l，BClsin .在RtACP1中，tan(90)，AC，则BAACBClsin .答案：lsin (二)素养专练学会更学通3.直观想象、数学建模为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测如图所示，A，B，C三地位于同一水平面
11、上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，BAC60.在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30(已知声音的传播速度为340米/秒)(1)求A，C两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.解：(1)由题意，设ACx，因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，所以BCx340x40，在ABC内，由余弦定理得BC2AC2BA22BAACcosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420.故A，C两地的距离为420米(2)在RtACH中，AC420，CAH30，所以CHACtanCAH140米故该仪器的垂直弹射高度CH为140米
12、4.数学建模如图所示，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)记AMN.(1)将AN，AM用含的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?解：(1)AMN，在AMN中，由正弦定理，得，所以ANsin ，AMsin(120)(2)在APM中，由余弦定理，得AP2AM2PM22AMPMcosAMPsin2(60)4sin(60)cos(60)1cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，0120(其中利用诱导公式可知sin(120)sin(60)，当且仅当2150270，即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2千米