1、核心素养提升练 四十六圆 的 方 程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018南昌模拟)已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是 ()A.x2+y2=2B.x2+y=C.x2+y2=1D.x2+y2=4【解析】选A.AB的中点坐标为(0,0),|AB|=2,所以圆的方程为x2+y2=2.2.(2018太原模拟)两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是()A.B.(1,+)C.D.1,+)【解析】选A.联立解得P(a,3a),因为点P在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)24,所以
2、-a0,且当k2=0时,圆的面积最大,此时直线y=(k+1)x+1的斜率为1,故倾斜角为.6.(2018九江模拟)已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线(A,B是切点),C是圆心,那么四边形PACB的面积的最小值是()A.B.C.D.【解析】选C.圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,则C(1,1),当|PC|最小时,四边形PACB的面积最小,|PC|min=2,此时|PA|=|PB|=.所以四边形PACB的面积S=21=.7.(2019吉林模拟)已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t0
3、),若圆C上存在点P,使得=0,则t的最小值为()A.3B.2C.D.1【解析】选D.由题意可得点P的轨迹方程是以AB为直径的圆,当两圆外切时有=tmin+1tmin=1,即t的最小值为1.【变式备选】(2018岳阳模拟)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|=1,则|+|的最大值是_.【解析】设D(x,y),由=(x-3,y)及|=1知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆,又+=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-1,y+),所以|+|=.问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.因为圆
4、心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,所以的最大值为+1.答案:+1二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019郑州模拟)以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为_.【解析】圆心是MN的中点,即点(1,2),半径r=MN=,则以MN为直径的圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.答案:(x-1)2+(y-2)2=59.(2018伊春模拟)设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P,则直线AB的方程是_.【解析】x2+y2-4x-5=0,所以圆心为C ,因此kCP=1 ,所以kAB=-1,AB:y-1=-,x+y-4=0.答案:x+y-4=010.经过点P(1,
5、1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程为_.【解析】方法一(待定系数法):设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有解得所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.方法二(直接法):由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.因为弦的垂直平分线过圆心,所以由得即圆心坐标为(4,-3),半径为r=5,所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.答案:(x-4)2+(y+3)2=25(20分钟40分)1.(5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=
6、0C.x+y-3=0 D.x-y+3=0【解析】选D.圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1,由点斜式得直线l:y-3=x-0,即x-y+3=0.2.(5分)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的标准方程为() A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1【解析】选C.到两直线3x-4y=0和3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组解得所以圆M的圆心
7、坐标为(-3,-1),又两平行线之间的距离为=2,所以圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.3.(5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为_.【解析】设P(cos ,sin ),R,则=(2,0),=(cos +2,sin ),=2cos +4.当=2k,kZ时,2cos +4取得最大值,最大值为6,即的最大值为6.答案:6【一题多解】设P(x,y),x2+y2=1,-1x1,=(2,0),=(x+2,y),所以=2x+4,所以的最大值为6.答案:6【变式备选】已知圆O:x2+y2=1的弦AB长为,若线段AP是圆O的直径,则
8、=_;若点P为圆O上的动点,则的取值范围是_.【解析】因为圆O:x2+y2=1的弦AB长为,且线段AP是圆O的直径,所以PAB=45,则=2=2.不妨设A,B,P(x,y),且-1y1,则=(0,-)=-y+1-+1,+1.答案:2-+1,+14.(12分)(2018南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,经过函数f(x)=x2-x-6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C.(1)求圆C的方程.(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由f(x)=x2-x-6得,其图象与两坐标轴的交点为(0,-6),(-2,0),(3,0),将交点
9、坐标代入圆的方程得解得所以圆的方程为x2+y2-x+5y-6=0.(2)由(1)知圆心坐标为,-,若直线经过原点,则直线l的方程为5x+y=0;若直线不过原点,设直线l的方程为x+y=a,则a=-=-2,即直线l的方程为x+y+2=0.综上,直线l的方程为5x+y=0或x+y+2=0.5.(13分)已知圆O:x2+y2=1,点A(-1,0),点B(1,0).点P是圆O上异于A,B的动点.(1)证明:kAPkBP是定值.(2)过点P作x轴的垂线,垂足为Q,点M满足2=-,求点M的轨迹方程C.(3)证明:kAMkBM是定值.【解析】(1)由已知,直线AP,BP斜率存在,AB是圆O的直径,所以APBP,所以kAPkBP=-1是定值.(2)设P(m,n),M(x,y),则Q(m,0),=(0,-n),=(x-m,y-n),因为2=-,所以2(0,-n)=-(x-m,y-n),即即 因为点P在圆O上,所以m2+n2=1,将代入得,x2+=1,又点P异于A,B,所以x1,即点M的轨迹方程C为x2+=1(x1).(3)由已知,直线AM,BM斜率存在,kAM=,kBM=,由(2)知x2-1=-,所以kAMkBM=-9,即kAMkBM是定值.关闭Word文档返回原板块
