1、试卷第 1 页，共 4 页双十中学 2022 届高三毕业班热身考试 数学试题满分 150 分考试时间 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2230|Ax xx，3,1,1,3B ，则AB（）A1B 1C113,D 3,1,1 2、已知
2、tan2，则cos2（）A45B35C 35D453已知双曲线22221xyab(0a，0b)的离心率为54，则该双曲线的渐近线方程为()A53yx B35yx C43yx D34yx4已知单位向量a，b 的夹角为 60，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A2abB2abC2abD2ab5某商场举行抽奖活动，箱子里有 10 个大小一样的小球，其中红色的 3 个，黄色的 3 个，蓝色的 4 个，现从中任意取出 3 个，则其中至少含有两种不同的颜色的小球的取法共有（）A96 种B108 种C114 种D118 种6等差数列 na的公差为 2，前 n项和为nS，若 p：12S ，22S ，32S 成
3、等比数列，q：na的首项为 0，则（）Ap 是 q 的充要条件Bp 是 q 的既不充分也不必要条件Cp 是 q 的充分不必要条件Dp 是 q 的必要不充分条件7设函数()yf x的图像与2x ay的图像关于直线 yx对称，且(2)(4)1ff，则a A 1B1C2D48一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 12,h h h，则12:h hh=A311B322C32 2D 3 2 3二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个
4、选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。试卷第 2 页，共 4 页9千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”，“日落云里走，雨在半夜后”，小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了 A地区的 100 天日落和夜晚天气，得到如下 22 列联表：日落云里走夜晚天气下雨不下雨出现255不出现2545临界值表0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.828并计算得到219.048，下列小明对 A
5、地区天气判断正确的是（）A夜晚下雨的概率约为 14B在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为 514C样本中出现“日落云里走”且夜晚下雨的频率是不出现“日落云里走”且夜晚下雨的频率的 2.5 倍D认为“日落云里走是否出现”与“当晚是否下雨”有关，此推断犯错误的概率不大于 0.00110已知实数 abc，满足 abc，且0ac，则下列不等式不一定成立的是（）A acbcBloglogccc ab aC22abcbDabcc11如图是函数()sin()0,|2f xx的部分图象，下列选项正确的是（）A()sin 23f xxB()sin 43f xxC06f D213f12如图，某校测绘
6、兴趣小组为测量河对岸直塔 AB(A 为塔顶，B为塔底)的高度，选取与 B在同一水平面内的两点 C与 D(B，C，D不在同一直线上)，测得CDs.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：,ACBACDBCDADBADCBDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔 AB 的高度的是（）A,sACBBCDBDCB,sACBBCDACDC,sACBACDADCD,sACBBCDADC 试卷第 3 页，共 4 页三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13在数列 na中，1112,1nnaaa ，则2022a的值为_.14已知 O为坐标原点，椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为
7、 F，A为 C上一点，AF与 x 轴垂直若 FAO的面积为24b，则 C的离心率为_15已知,A B C D是球O的球面上的四点，BD为球O的直径，球O的表面积为16，且ABBC，2ABBC，则直线 AD与平面 ABC 所成角的正弦值是_.16已知函数()(1)lneaxf xaxx，当0a 时，(1,)x ，都有()0f x，则实数 a 的最小值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且22()a bcab(1)求角 C的大小；(2)若sin()cosBAC，三角形 ABC 的面积为
8、33，求边长 c 的值18等差数列 na的前 n 项和为nS，已知19a，2a 为整数，且5nSS.（1）求 na的通项公式；（2）设11nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nT.19如图，正方形 ABCD所在的平面与菱形 ABEF 所在的平面互相垂直，AEF为等边三角形.(1)求证：AECF；(2)01FPFC，是否存在，使得平面PAE 平面 DCEF，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.试卷第 4 页，共 4 页20为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛.每场比赛由两支队伍对抗进行，每队由 2 名成员组成，共进行 3 局.每局比赛时，两队成员交替发球，每名成员
9、只能从发球区（MN 左侧）掷冰壶一次.当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分.若冰壶未到达营垒区，计 1 分；若冰壶能准确到达营垒区，计 2 分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利.已知A 队两名成员甲乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为 12 和13，B 队两名成员丙丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为 12.假设两队投掷的冰壶在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响.(1)求 A 队每局得分 X 的分布列及期望；(2)若第一局比赛结束后，A 队得 1 分，B 队得 4 分，求A 队最终获得本场比赛胜利且总积分比B 队高 3 分的概率.21已知函数()ln(1)1af xxx，
10、其中0 x，aR(1)讨论()f x 的单调性；(2)当2a 时，0 x 是()f x 的零点，过点00,ln1A xx 作曲线ln(1)yx的切线l，试证明直线l也是曲线1exy的切线22已知2211:(1)(1)4Cxy和抛物线2200:4,Cxy P x y是圆1C 上一点，M是抛物线2C 上一点，F是抛物线2C 的焦点（1）当直线PM 与圆1C 相切，且|PMFM时，求0 x 的值；（2）过 P作抛物线2C 的两条切线PA PBA B，分别为切点，求证：存在两个0 x，使得PAB面积等于3 32 答案第 1 页，共 4 页双十中学 2022 届高三毕业班热身考试答案 1C 2B 3D
11、4D 5C 6A7、B 8B 9BD 10BCD 11AC 12ACD13、13；14 12；15、63；16、1 e8、由题意作图如图,几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，设棱长为 1，四棱锥是棱长都相等的正四棱锥,三棱锥是一个正四面体，四棱锥的高是 P 到面 AC 的距离，P 点到线段 AD的距离是 32,令 P 在底面AC 上的射影为 O,连接 AO，则22AO，故222222122POPAAO，三棱锥的高就是 P 点到面SBC 的距离,令 P 点在面SBC 上的射影为M ,则M 是三角形的重心，故233323SM，故222236133PMPSSM，三棱柱的高也是63PM，因而122661
12、33:3:2:2233233h hh，故选 B 12解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.A.在 CBD中，已知,sBCDBDC，可以解这个三角形得到BC，再利用ACB、BC 解直角 ABC 得到AB的值；B.在 CBD中，已知,sBCD无法解出此三角形，在 CAD中，已知,sACD无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔 AB 的高度；C.在ACD中，已知,sACDADC，可以解ACD得到 AC,再利用ACB、AC 解直角 ABC 得到AB 的值；D.如图，过点B 作BECD,连接 AE.由于cos,cos,cosCBCECEACBBCDAC
13、EACBCAC,所以coscoscosACEACBBCD，所以可以求出 ACD的大小，在ACD中，已知,ACDADC s可以求出,AC 再利用ACB、AC 解直角 ABC 得到AB 的值.15 依题意，O是 BD中点，取 AC中点1O，延长1BO 至 E，使11O EBO，连接1,OO DE AE CE，如图，则有1/DEOO，且四边形 ABCE是平行四边形，2AEBC，因 ABBC，则1O 是平面 ABC 截球 O所得截面小圆的圆心，于是得1OO 平面 ABC，DE 平面 ABC，因此，DAE是直线 AD 与平面ABC 所成角，由球O的表面积为16 得球半径2OA，而2ABBC，则12AO，
14、而1OOAC，从而得12OO，122 2DEOO，RtADE中，222 3ADAEDE6sin3DEDAEAD，所以直线 AD与平面 ABC 所成角的正弦值是 63.16(1,)x ，都有()0f x ，所以(1)lneaxaxx 恒成立，即1(1)lnexaaxxx 恒成立，亦即11lneaaxxxx，即为11lnlneeaaxxxx对1x 恒成立.记 e,1xg xxx.因为 1 e0 xg xx，所以 g x 在1,上单调递增函数.所以1lnaxx 恒成立，即1lnaxx恒成立.因为1x ，所以ln0 x，所以1lnxax恒成立.记 ,1lnxh xxx.因为 2ln1lnxh xx，所
15、以当ex 时，0h x，所以 h x 在e,上单调递增函数；答案第 2 页，共 4 页当1ex 时，0h x，所以 h x 在1,e 上单调递减函数.所以 eeh xh，即1ea，解得：1 ea.又0a ，所以1 e0a.17(1)由已知，222abcab，由余弦定理，2221cos22abcCab，而(0,)C，所以3C(2)由（1）知：23AB，又1sin()cos2BAC，则21sin232A，而20,3A，则 2236A，可得5,412AB又1162sinsin3322438ABCacBacacS，又sinsinacAC，即23ac，联立，解得2 3c 18、（1）由19a，2a 为整
16、数知，等差数列 na的公差d 为整数又5nSS，故560,0,aa于是940,9 50dd，解得9945d，因此2d ，故数列 na的通项公式为11 2nan（2）111111 2922 9211 2nbnnnn，于是12111111111129579211 22 9299 927nnnTbbbnnnn19(1)连接BF 交 AE 于O，因为四边形 ABEF 为菱形，所以AEBF，又正方形 ABCD所在的平面平面 ABEF，且平面 ABCD平面 ABEFAB，因为BCAB，所以BC 平面 ABEF，所以BCAE，又 BFBCB，所以 AE平面BCF，因为CF 平面BCF，所以AECF；(2)存
17、在.以O为原点，OF，OE 的方向为x 轴，y 轴，过点O作菱形 ABEF所在的平面的垂线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则0,1,0A，3,0,0F，0,1,0E，0,1,2D，因为FPFC，设点,P x y z，则3,2 3,0,2xy z，所以点(32 3,0,2)P，(32 3,1,2)AP，0,2,0AE，设平面PAE 的法向量为,mx y z，则有00m APm AE，可得2,0,12 33m ，12 3,1,2DF，3,1,0FE ，设平面DCEF 的法向量为,nx y z，则有00n DFn FE ，可得3,3,3n，由0m n 可得38.当12 时，(0,1
18、,1)AP，0,2,0AE，,mx y z，则00yzy，令1x ，则法向量1,0,0m，此时0m n，综上可知：38 成立.20(1)由题设，X 的所有可能取值为 2，1，4，且 X 的分布列如下：X214P131216所以 21413262E X .答案第 3 页，共 4 页(2)设 B 队每局得分为Y，同理Y 的分布列为Y214P141214记 A 队B 队在后两局总得分分别为x y，则所包含的情况如下：A 队总得分x258B队总得分 y4121 11111132,423 62244576P xy ，111115,122264224P xy ，11111168,22662244576P
19、xy ，故 A 队最终获得本场比赛胜利且总积分比B 队高 3 分的概率为 13164357624576576.21(1)解：因为()ln(1)1af xxx 定义域为0,，所以2221()1(1)axaxaf xxxx x，当0a 时，()0fx在(0,)上恒成立，所以函数()f x 在(0,)上单调递增，没有减区间；当0a 时，令()0fx 时，2142aaax，2242aaax 且120 xx，令()0fx 得242aaax，所以()f x 的增区间为24,2aaa 令()0fx得2402aaax，所以()f x 的减区间为240,2aaa(2)解：当2a 时，0 x 是()f x 的零点
20、，所以 0002ln110f xxx 即 000022ln11xxxx 由ln(1)yx得11yx ，由1exy得1exy 所以过点00,ln1A xx 作曲线ln(1)yx的切线l 的方程为0001ln11yxxxx（*）假设曲线1exy在点 11,B x y的切线与l 斜率相等，所以1 101e1xx ，所以101ln1xx ，即10ln11xx ，01ln11101ee1xxyx 把10ln11xx 代入（*）式得00000011ln1ln111ln1111yxxxxxx 答案第 4 页，共 4 页00001000021ln111111xxxxyxxxx 所以点 11,B x y在切线l
21、 上所以直线l 也是曲线1exy的切线22（1）焦点 F坐标为(0,1)，设2,4MMxM x，则2221|1144MMxPMx，由抛物线定义，M到焦点距离等于到抛物线准线1y 的距离，所以2|14MxFM ，由|PMFM，得 22221111444MMMxxx，所以12Mx或32Mx，所以1 1,2 16M 或3 9,2 16M，此时PM 与准线1y 垂直，所以012x 或032x 或0931706x 或08171378x；（2）设 00,P xy，则22001114xy，设直线PA方程为010yyk xx，代入24xy，得22101 0101 0440,16160 xk xyk xkyk
22、x，整理得211 000kk xy，同理，直线PB方程为020yykxx，有222000kk xy，由知，12,k k 是方程2000kkxy的两根，所以1201 20,kkx k ky，由切线意义知，在2101 0440 xk xyk x中，14AAxxk，则12Axk所以 2112,Ak k，同理 222121222122,222ABkkkkBk kkkk直线 AB 方程为2121122kkykxk即111 22kkyxk k即002xyxy222220120121 2000|12244444xABkkxkkk kxxy00,P xy到直线 AB 的距离2300200204113 3,|42224APBxydSAB dxyx 所以20043xy，与22001114xy联立得320000119130 xxxx所以01x 或3200019130 xxx，设 3200001913f xxxx，显然130,(1)0,022fff，又0f x在1 3,2 2上递增，所以 3200001913f xxxx在1,12 上有唯一零点所以存在两个0 x，使得PAB面积等于3 32.
