1、专项小测(十八)“1719题”“二选一”时间：45分钟满分：46分17(12分)已知数列an满足an0，且3an3an1anan1，等比数列bn中，b2a1，b43，b69.(1)证明：数列为等差数列，并求数列an的通项公式(2)求数列anan1的前n项和Sn.解：(1)因为an0，且3an3an1anan1，所以等号两边同时除以3anan1，得，所以数列是公差为的等差数列(2分)因为bn是等比数列，所以b2b6b，又b43，b69，所以9b29，所以b21，(4分)所以a1b21，故(n1)1(n1)，an.(6分)(2)由(1)知anan19，(8分)所以Sn99.(12分)18(12分)
2、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为的菱形，BCD60，AC与BD交于点O，平面FBC平面ABCD，EFAB，FBFC，EF.(1)求证：OE平面ABCD；(2)若FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角QBCA的余弦值解：(1)证明：取BC的中点H，连结OH、FH、OE.因为FBFC，所以FHBC.因为平面FBC平面ABCD，平面FBC平面ABCDBC，FH平面FBC，所以FH平面ABCD.(2分)因为H、O分别为BC、AC的中点，所以OHAB且OHAB.(4分)又因为EFAB，EF，所以EF綊OH，所以四边形OEFH为平行四边形，所以OEFH，所以OE平面ABCD.(
3、6分)(2)因为菱形ABCD，所以OAOCOEFH2，所以OA，OB，OE两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示则A(2,0,0)，B，C(2,0,0)，E(0,0,2)，所以Q(1,0,1)，(3,0,1)(8分)设平面BCQ的法向量为m(x，y，z)由得取x1，则y，z3可得m(1，3)，平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)(10分)设二面角QBCA的平面角为，则cosm，n.因为二面角QBCA的平面角为锐角，所以cos，所以二面角QBCA的余弦值为.(12分)19(12分)某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下
4、表：年份2012201320142015201620172018投资金额x(万元)4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长y(万元)6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长多少？(结果保留两位小数)(2)现从2012年2018年这7年中抽出三年进行调查，记年利润增长投资金额，设这三年中2(万元)的年份数为，求随机变量的分布列与期望参考公式：，参考数据：xiyi359.6，x259.解：(1)(4.55.5566.577.5)6，(677.48.
5、18.99.611.1)8.3，7 348.6，1.571，8.31.57161.1261.13，那么回归直线方程为1.57x1.13，(2分)将x8代入方程得1.5781.1311.43，(4分)即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元. (6分)(2)由题意可知，年份20122013201420152016201720181.521.92.12.42.63.6的可能取值为1,2,3，P(1)，P(2)，P(3)，(8分)则分布列为123P(10分)E()123.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修44：坐标系
6、与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知A，B是曲线C上任意两点，且AOB，求OAB面积的最大值解：(1)消去参数，得到曲线C的普通方程为(x2)2y24，故曲线C的极坐标方程为4cos.(5分)(2)在极坐标系中，不妨设A(1，0) ，B，其中10，20，0.由(1)知14cos0，24cos，所以OAB面积S12sin4cos0cos，所以S2cos206sin0cos0(1cos20)3sin202cos.当200时，即0，cos 有最大值1，此时Smax3，故OAB面积的最大值为3.(10分)23选修45：不等式选讲(10分)已知正实数a，b满足ab2.(1)求证：2；(2)若对任意正实数a，b，不等式|x1|x3|ab恒成立，求实数x的取值范围解：(1)()22(ab)2262(ab)212，所以2.(5分)(2)对正实数a，b有ab2，所以22，解得ab1，当且仅当ab时等号成立因为对任意正实数a，b，|x1|x3|ab恒成立，所以|x1|x3|1恒成立当x1时，不等式化为x1(3x)1，整理得41，不等式无解；当1x3时，不等式化为x1(3x)1，解得x3；当x3时，不等式化为x1(x3)1，整理得41，不等式恒成立综上可得x的取值范围是.(10分)
